【集合论】划分 ( 划分

划分 :

非空集合 A A A , A ≠ ∅ A \not= \varnothing A​=∅ , A A A 集合的一个 划分 是 集族 A \mathscr{A} A , 该 集族 A \mathscr{A} A 包含于 A A A 集合的幂集 , A ⊆ P ( A ) \mathscr{A} \subseteq P(A) A⊆P(A) , 集族中的元素都属于 A A A 集合的幂集 ;

集族 A \mathscr{A} A 中的元素是 集合 , 称为 划分块 ( Block ) , 集合中的元素都是 A A A 集合中的元素 ;

该集族 A \mathscr{A} A 有以下性质 :

① A \mathscr{A} A 集族中每个元素都非空 ∅ ∉ A \varnothing \not\in \mathscr{A} ∅​∈A

② A \mathscr{A} A 集族中任意两个元素 ( 划分块 / 集合 ) 是不相交的

∀ x , y ( x , y ∈ A ∧ x ≠ y ⇒ x ∩ y = ∅ ) \forall x,y ( x,y \in \mathscr{A} \land x \not= y \Rightarrow x \cap y = \varnothing ) ∀x,y(x,y∈A∧x​=y⇒x∩y=∅)

③ A \mathscr{A} A 集族中所有的元素 ( 划分块 / 集合 ) 的并集是 A A A 集合

⋃ A = A \bigcup \mathscr{A} = A ⋃A=A

商集就是一个划分 , 该集族中的元素是等价类集合 ;

商集参考 : 【集合论】等价类 ( 等价类概念 | 等价类示例 | 等价类性质 | 商集 | 商集示例 ) 四、商集

全集是 E E E ,

取 E E E 的 n n n 个 非平凡 的 真子集 , 非平凡的含义是既不是空集 , 也不是它自己 ;

∅ ≠ A 1 , A 2 , ⋯   , A n ⊂ E \varnothing \not= A_1 , A_2, \cdots, A_n \subset E ∅​=A1​,A2​,⋯,An​⊂E

1. 划分 1 基于 1 1 1 个元素

集族 A i = { A i , ∼ A i } \mathscr{A}_i = \{ A_i , \sim A_i \} Ai​={Ai​,∼Ai​} , i = 1 , 2 , ⋯   , n i = 1, 2, \cdots , n i=1,2,⋯,n , A i \mathscr{A}_i Ai​ 集族中包含 A i A_i Ai​ 集合及其补集 ∼ A i \sim A_i ∼Ai​ , 该集族 A i \mathscr{A}_i Ai​ 满足上述划分的三个性质 , 是一个划分 ;

2. 划分 2基于 2 2 2 个元素

集族 A i = { A i ∩ A j , ∼ A i ∩ A j , A i ∩ ∼ A j , ∼ A i ∩ ∼ A j } − { ∅ } \mathscr{A}_i = \{ A_i \cap A_j , \sim A_i \cap A_j , A_i \cap \sim A_j , \sim A_i \cap \sim A_j\} - \{ \varnothing \} Ai​={Ai​∩Aj​,∼Ai​∩Aj​,Ai​∩∼Aj​,∼Ai​∩∼Aj​}−{∅} , i , j = 1 , 2 , ⋯   , n ∧ i ≠ j i,j = 1, 2, \cdots , n \land i \not= j i,j=1,2,⋯,n∧i​=j

根据如下文氏图进行理解 :

3. 划分 3 基于 3 3 3 个元素

集族 A i j k = { A i ∩ A j ∩ A k , A i ∩ ∼ A j ∩ ∼ A k , ∼ A i ∩ A j ∩ ∼ A k , ∼ A i ∩ ∼ A j ∩ A k , ∼ A i ∩ ∼ A j ∩ ∼ A k } − { ∅ } \mathscr{A}_{ijk} = \{ A_i \cap A_j \cap A_k , A_i \cap \sim A_j \cap \sim A_k , \sim A_i \cap A_j \cap \sim A_k , \sim A_i \cap \sim A_j \cap A_k , \sim A_i \cap \sim A_j \cap \sim A_k\} - \{ \varnothing \} Aijk​={Ai​∩Aj​∩Ak​,Ai​∩∼Aj​∩∼Ak​,∼Ai​∩Aj​∩∼Ak​,∼Ai​∩∼Aj​∩Ak​,∼Ai​∩∼Aj​∩∼Ak​}−{∅}

4. 划分 4 基于 n n n 个元素

集族

A 1 , 2 , ⋯   , n = { A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ∩ A n , A 1 ∩ ∼ A 2 ∩ ⋯ ∩ ∼ A n , ∼ A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ∩ ∼ A n , ⋮ ∼ A 1 ∩ ∼ A 2 ∩ ⋯ ∩ ∼ A n } − { ∅ } \begin{array}{lcl} \mathscr{A}_{1,2,\cdots,n} = \{ \\\\ A_1\cap A_2 \cap \cdots \cap A_n , \\\\ A_1\cap \sim A_2 \cap \cdots \cap \sim A_n , \\\\ \sim A_1\cap A_2 \cap \cdots \cap \sim A_n , \\\\ \vdots \\\\ \sim A_1\cap \sim A_2 \cap \cdots \cap \sim A_n \\\\ \} - \{ \varnothing \} \end{array} A1,2,⋯,n​={A1​∩A2​∩⋯∩An​,A1​∩∼A2​∩⋯∩∼An​,∼A1​∩A2​∩⋯∩∼An​,⋮∼A1​∩∼A2​∩⋯∩∼An​}−{∅}​

规则 : A 1 A_1 A1​ 到 A n A_n An​ 的并集 , n n n 个 ∼ A 1 \sim A_1 ∼A1​ 到 ∼ A n \sim A_n ∼An​ 的并集 , 其中每个并集中 , 只有一个不是补集 , ∼ A 1 \sim A_1 ∼A1​ 到 ∼ A n \sim A_n ∼An​ 的并集 ;

划分与等价关系定理 :

前提 : 集合 A A A 非空 , A ≠ ∅ A \not= \varnothing A​=∅

R R R 关系是 A A A 集合上的等价关系 , 可以推导出 , A A A 集合关于 R R R 关系的商集 A / R A/R A/R 是 A A A 的划分 ;

R 是 A 上 等 价 关 系 ⇒ A / R 是 A 的 划 分 R 是 A 上等价关系 \Rightarrow A/R 是 A 的划分 R是A上等价关系⇒A/R是A的划分

集族 A \mathscr{A} A 是 A A A 集合上的划分 , 定义一个 二元关系 是 同块关系 R A R_{\mathscr{A}} RA​ , 该 同块关系 是 A A A 集合上的 等价关系 , 该 同块关系 是 由划分 A \mathscr{A} A 定义的关系 ;

x R A y ⇔ ∃ z ( z ∈ A ∧ x ∈ z ∧ y ∈ z ) xR_{\mathscr{A}}y \Leftrightarrow \exist z ( z \in \mathscr{A} \land x \in z \land y \in z ) xRA​y⇔∃z(z∈A∧x∈z∧y∈z)