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Logistic混沌映射
1 引言
如果一个系统的演变过程对初始的状态十分敏感,就把这个系统称为是混沌系统。 在 1972 年 12 月 29 日 ,美国麻省理工教授、混沌学开创人之一E.N.洛仑兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文,提出一个貌似荒谬的论断:在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风,并由此提出了天气的不可准确预报性。至此以后,人们对于混沌学研究的兴趣十分浓厚,今天,伴随着计算机等技术的飞速进步,混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。 混沌来自于非线性动力系统,而动力系统又描述的是任意随时间变化的过程,这个过程是确定性的、类似随机的、非周期的、具有收敛性的,并且对于初始值有极敏感的依赖性。而这些特性正符合序列密码的要求。1989年Robert Matthews在Logistic映射的变形基础上给出了用于加密的伪随机数序列生成函数,其后混沌密码学及混沌密码分析等便相继发展起来。混沌流密码系统的设计主要采用以下几种混沌映射:一维Logistic映射、二维He’non映射、三维Lorenz映射、逐段线性混沌映射、逐段非线性混沌映射等,在本文中,我们主要探讨一维Logistic映射的一些特性。 2 Logistic映射分析一维Logistic映射从数学形式上来看是一个非常简单的混沌映射,早在20世纪50年代,有好几位生态学家就利用过这个简单的差分方程,来描述种群的变化。此系统具有极其复杂的动力学行为,在保密通信领域的应用十分广泛,其数学表达公式如下: Xn+1=Xn×μ×(1-Xn) μ∈[0,4] X∈[0,1]
其中 μ∈[0,4]被称为Logistic参数。研究表明,当X∈[0,1] 时,Logistic映射工作处于混沌状态,也就是说,有初始条件X0在Logistic映射作用下产生的序列是非周期的、不收敛的,而在此范围之外,生成的序列必将收敛于某一个特定的值。如下图所示:
可以看出,在μ的取值符合3.5699456 |
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