2024年美国大学生数学建模竞赛（A题）资源可用性与性别比例

我是小鹿学长，就读于上海交通大学，截至目前已经帮200+人完成了建模与思路的构建的处理了～ 完整内容可以在文章末尾领取！

2024 MCM Problem A: 资源可用性与性别比例

性别比例的变异和生态系统影响：

七鳃鳗种群的优势和劣势：

性别比例变化对生态系统稳定性的影响：

可变性别比例对其他生物的影响：

–综合生态系统动力学模型和Agent-Based Modeling (ABM) 生态系统动力学模型介绍：

生态系统动力学模型是一种基于差分方程或微分方程的数学模型，用于描述生态系统中物种之间的相互作用和种群动态的变化。这种模型通常涉及到种群的增长、死亡、竞争、捕食等基本生态过程。生态系统动力学模型可以帮助我们理解生物群体在特定环境条件下是如何演变的，以及它们之间的相互关系。

Agent-Based Modeling (ABM)介绍：

代理模型是一种计算模型，它通过对系统中个体的行为进行建模，来模拟整个系统的行为。在代理模型中，每个个体被视为一个代理，拥有自己的属性、状态和行为规则。这些个体代理根据环境中的变化做出决策，与其他代理进行交互，并在模拟中演化。ABM能够更细致地考虑个体层面的异质性和相互作用。

为什么要结合使用这两种模型：

捕捉个体层面的行为：

考虑环境的影响：

探究动态的传播效应：

提高模型的可解释性：

更全面的理解生态系统的复杂性：

综合生态系统动力学模型和Agent-Based Modeling (ABM)的解决思路：

1. 生态系统动力学模型的基础：

差分方程模型： d M d t = r M ⋅ M ⋅ ( 1 − M K M ) − α M F ⋅ M ⋅ F \frac{dM}{dt} = r_M \cdot M \cdot (1 - \frac{M}{K_M}) - \alpha_{MF} \cdot M \cdot F dtdM​=rM​⋅M⋅(1−KM​M​)−αMF​⋅M⋅F

d F d t = r F ⋅ F ⋅ ( 1 − F K F ) − α F M ⋅ F ⋅ M \frac{dF}{dt} = r_F \cdot F \cdot (1 - \frac{F}{K_F}) - \alpha_{FM} \cdot F \cdot M dtdF​=rF​⋅F⋅(1−KF​F​)−αFM​⋅F⋅M

这里， M M M和 F F F分别是雄性和雌性的种群密度， r M r_M rM​和 r F r_F rF​是其增长率， K M K_M KM​和 K F K_F KF​是种群的饱和容量， α M F \alpha_{MF} αMF​和 α F M \alpha_{FM} αFM​是雄性和雌性之间的相互作用系数。

2. 引入Agent-Based Modeling (ABM)来模拟个体层面的交互：

代理模型中的个体行为：

个体代理的决策行为：

与生态系统动力学模型的耦合：

性别比例的变异嵌入到个体行为中：

Sex Ratio = M M + F \text{Sex Ratio} = \frac{M}{M + F} Sex Ratio=M+FM​

3. 个体与种群的关系：

生态系统动力学模型中的其他生物： d P d t = r P ⋅ P ⋅ ( 1 − P K P ) − β P M ⋅ P ⋅ M \frac{dP}{dt} = r_P \cdot P \cdot (1 - \frac{P}{K_P}) - \beta_{PM} \cdot P \cdot M dtdP​=rP​⋅P⋅(1−KP​P​)−βPM​⋅P⋅M

ABM中的个体与其他生物的交互：

4. 环境因素的耦合：

ABM中的环境因素：

环境因素与生态系统动力学模型的耦合：

在上述示例中，使用了 matplotlib 库进行数据可视化。以下是如何使用 matplotlib 可视化代理模型中个体的性别分布的代码。

上述代码添加了 visualize_agents 方法，该方法使用 matplotlib 绘制了一个柱状图，显示了代理模型中雄性和雌性个体的数量分布。

–结合蒙特卡洛模拟和Agent-Based Modeling (ABM) 问题. 七鳃鳗种群的优势和劣势：

Agent-Based Modeling (ABM) 是一种建模和仿真方法，其中个体被建模为独立的代理，这些代理具有自己的属性、状态和行为规则。这些代理通过模拟它们之间的相互作用，以及它们对环境的响应，从而形成整体的系统行为。ABM 是一种强大的方法，特别适用于模拟个体行为对整体系统行为的影响。在问题二中，使用ABM的原因包括：

个体行为模拟： ABM 允许模拟每个七鳃鳗个体的行为，包括繁殖、移动、食物获取等。这对于研究性别比例变化对个体层面的生态交互影响至关重要。

动态适应性： 七鳃鳗种群的性别比例调整可能是一种动态的适应策略。ABM 可以帮助模拟种群在不同环境条件下如何动态调整性别比例以适应外部变化。

模拟不确定性： ABM 允许引入随机性，模拟不同个体之间的差异和环境的变化。这有助于考虑到不确定性，使模型更贴近实际情况。

Monte Carlo Simulation：

蒙特卡洛模拟是一种通过随机抽样来近似数值结果的方法。在蒙特卡洛模拟中，通过多次模拟系统的随机状态变化，以获得对系统性质的概率性估计。在问题二中，使用蒙特卡洛模拟的原因包括：

不确定性的建模： 蒙特卡洛模拟允许引入不确定性，通过多次运行模拟来模拟参数的分布和可能的情景，从而更全面地考虑不确定性。

参数范围的探索： 蒙特卡洛模拟能够在给定的参数范围内对模型进行大量的随机抽样。这对于研究不同环境条件下性别比例变化对生态系统的影响至关重要。

统计分析： 蒙特卡洛模拟提供了对模拟结果的统计分析能力，如均值、方差等。这有助于确定结果的可靠性和置信区间。

综合使用ABM和蒙特卡洛模拟，可以更全面地考虑个体层面的动态行为和系统整体性质之间的相互作用，同时能够处理模型中的不确定性，提高对性别比例变化对生态系统影响的理解。 思路展开：

建立代理模型（ABM）：

确定评估指标：

设定实验参数范围：

蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）：

分析结果：

性别比例变化的影响分析：

制作可视化图表：

敏感性分析：

提出结论：

回答问题二的子问题：

优势：

劣势：