第4章：载波同步与锁相环仿真（1）

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第4章：载波同步与锁相环仿真（1）

2023-05-06 06:23| 来源: 网络整理| 查看: 265

错误更正

之前代码中出现了错误，现在已改成下面这个式子，运行正确。

Wn = 2*Bn/(damp+(1/(4*damp)));

本人最近搞懂了锁相环MATLAB仿真的一些知识，于是先更新第4章，之后更新第3章——信号捕获。

第4章（1）内容如下：

一、二阶锁相环的MATLAB代码实现

二、锁相环经典书籍与材料

三、锁相环基本原理介绍，各参数对二阶锁相环的性能影响

四、总结

第4章（2）内容将集中：

用二阶数字锁相环对有多普勒频偏和载波随机相位的psk信号进行相干解调

下面开始第（1）部分内容：

一、二阶锁相环的MATLAB代码实现

本科在学习通信原理的课程时，提到2PSK的相干解调，接收端需要一个和发送端同频同相的载波，才能进行相干解调。

书本上一般会考虑载波相位误差 $\varphi$ 对相干解调性能的影响，会使得信噪比下降 ${\cos ^2}\varphi$ 倍。（思考几秒钟，想下为什么？）

你可能会想了，接收端有没有什么办法能估计出这个误差相位 $\varphi$ ，从而避免这种信噪比的损失呢？

激动人心的时刻，锁相环表示他要出场了。

对，锁相环就是这么一种神奇的电路，能够产生出一个与到达接收端信号同频同相的载波信号。

注意，在这里你需要区分发送信号和到达接收端信号，这两者的频率和相位常常是不一样的。

这是为什么呢？

在无线通信，尤其是卫星通信中，是少不了多普勒频偏的。

奇怪的小问号来了，多普勒频偏是什么？

百度解释：多普勒频偏（Doppler Shift）是指当移动台以恒定的速率沿某一方向移动时，由于传播路程差的原因，会造成相位和频率的变化，通常将这种变化称为多普勒频偏。

通信协议中，会事先规定收发端的载波频率，比如发送端的载波频率是fc，若接收端采用相干解调，接收端的本原振荡器也会产生频率fc的载波。

上面我用的“到达接收端信号”这个词语，可能不是特别准确，我想表达的是接收端实际收到的信号，你结合多普勒频偏便可以理解了。

但是多普勒频偏 $\Delta f$ 到底偏了多少？这个值，接收端是不知道的。

对于接收端来说，接收端认为收到的信号频率是 ${f_c} + \Delta f$ 。此时若还想采用相干解调，依然需要同频同相的载波，便要把多普勒频偏 $\Delta f$ 估计出来。

那你可能忍不住会问了，接收机就是不纠正多普勒频偏会带来什么后果呢？（这问题我想了也特别久）

后果便是：星座图的旋转，这将对接收端的解调和判决造成非常大的困扰。

思考几秒钟，为什么？

一个复信号，对其乘以 ${e^{j\Delta \theta }}$ ，对应到星座图上，是对这个星座图进行逆时针旋转 $\theta$ ，而

$\Delta \theta = 2pi\Delta ft$ ，随着时间的积累，星座图旋转的角度会越来越大，判决的时候若不将星座图顺时针旋转回来，判决便容易出错。

以QPSK为例，星座图将不是集中在4个点，而是随着时间不同，旋转角度不同，因此星座图会散。

那采用非相干解调，不就行了吗？

无论对于相干解调还是非相干解调都是要估计多普勒频偏的，原因同样是星座图的旋转。当然，这也与非相干解调算法的频偏容忍范围有关。非相干解调的MATLAB实现，我将在第六章解调算法中写。

既然上面已经说到了锁相环，我自己本科时候学习了《高频电子线路》课程，知道了模拟锁相环电路的工作原理，那到底在数字系统是如何实现锁相环的呢？

我在《数字锁相环的MATLAB实现》提供了初始版本的代码，后面我会将其应用于有多普勒频偏的2PSK相干解调。

二、锁相环经典书籍与材料

在讲解锁相环MATLAB代码实现之前，我先列举一下我所知道的锁相环经典书籍：

1、Gardner的《锁相环技术》，英文名是《Phaselock Techniques》，锁相环领域世界权威级教科书

2、西电出版社，郑继禹、张厥盛的《锁相技术》

3、郑继禹的《同步理论与技术》

以上三本书我都没完整看过，但遇到问题时，常翻阅。接下来说说我看过的材料：

1、Tsui《Fundamentals of Global Positioning System Receivers》的第8章，中文版本的西电杨俊、武奇生《GPS基本原理及其仿真》第6章与前者内容将近一致。

2、CSDN上《二阶数字锁相环仿真（内附MATLAB代码）》，也是一份非常不错的材料。

3、杜勇的《锁相环技术原理及FPGA实现》，这书的写作形式是博客，娓娓道来，总是能把我心中想问的问号说出来，非常不错。

4、蔡凡博士的博士毕业论文《卫星定时接收机的关键技术研究》，知网上可以下载，关于捕获和跟踪的内容比较全，需慢慢消化。

以上材料中对锁相环的原理讲解不错，均缺少MATLAB代码实现。

我现在想通信问题，会常想怎么在代码中实现。结合蔡凡博士的微信公众号“通信工程师专辑”有MATLAB代码，我将思考明白的原理和代码讲解如下。

《Fundamentals of Global Positioning System Receivers》的第8章，锁相环电路包括三部分：鉴相器、环路滤波器和压控振荡器。

经典的锁相环时域和s域图如下：

图1 经典锁相环时域图

${\theta _i}\left( t \right)$ 表示输入信号， ${\theta _f}\left( t \right)$ 表示压控振荡器的输出信号， $\sum {}$ 表示鉴相器， ${k_0}$ 是鉴相器增益， $\varepsilon \left( t \right)$ 表示鉴相误差，所以有 $\varepsilon \left( t \right) = {\theta _i}\left( t \right) - {\theta _f}\left( t \right)$ 吗？

在这里一定要注意的是，实际在用鉴相器时， $\varepsilon \left( t \right)$ 是关于 ${\theta _i}\left( t \right) - {\theta _f}\left( t \right)$ 这个相位差的函数，并不一定就等于相位差，这个要理解。

鉴相器的类型有很多种，之后结合代码讲解的时候会说到。

图2 经典锁相环的s域图

压控振荡器（VCO），顾名思义，是用电压来控制振荡器输出信号的相位，有：

${\omega _2}\left( t \right) = {\omega _0}\left( t \right) + {k_1}u\left( t \right)$ （1）

${\omega _0}$ 是压控振荡器的固有振荡角频率，即没有输入控制电压时振荡角频率。

${k_1}$ 是增益系数，模拟的振荡器是有线性控制范围的，超出范围后，就不呈现线性函数关系了。但由于我们采用数字实现，整个数字频率控制振荡器来讲，都一直是线性函数关系。

从图2中可以得出：

${V_c}\left( s \right) = {k_0}\varepsilon \left( s \right) = {k_0}[{\theta _i}\left( s \right) - {\theta _f}\left( s \right)]$ （2）

${V_0}\left( s \right) = {V_c}\left( s \right)F\left( s \right)$ （3）

${\theta _f}\left( s \right) = {V_0}\left( s \right)\frac{{{k_1}}}{s}$ （4）

由以上三个式子，可以化简得到下面：

$H\left( s \right) \equiv \frac{{{\theta _f}\left( s \right)}}{{{\theta _i}\left( s \right)}} = \frac{{{k_0}{k_1}F\left( s \right)}}{{s + {k_0}{k_1}F\left( s \right)}}$ （4）

以上出现的“ $\equiv$ ”均表示“定义为”，下同。也就是说， ${F\left( s \right)}$ 决定了整个锁相环的传输函数 $H\left( s \right)$ 。

那我们怎么来衡量一个锁相环的工作性能好不好呢？一般会用三类信号对锁相环进行测试：

（1）相位阶跃信号： ${\theta _i}\left( t \right) = u\left( t \right)$ ，即对应 ${\theta _i}\left( s \right) = \frac{1}{s}$

（2）频率阶跃信号： ${\theta _i}\left( t \right) = \Delta \omega t$ ，即对应 ${\theta _i}\left( s \right) = \frac{{\Delta \omega }}{{{s^2}}}$

（3）频率斜升信号： ${\theta _i}\left( t \right) = \frac{1}{2}R{t^2}$ ，即对应 ${\theta _i}\left( s \right) = \frac{R}{{{s^3}}}$

图3 各种类型环路的稳态误差

从图3可以看出，对于频率阶跃信号来说，一阶环的稳态误差不为0，因此一般不用一阶环路。三阶环路的复杂性比较高，不太好设计（我还没试过），所以综合来看，二阶环路用的比较多。

（这是郑继禹、张厥盛的《锁相技术》书籍中的图片，对于阶和型的命名，这张是正确的，读者明白就好了。）

$F\left( s \right) = \frac{1}{{1 + s{\tau _1}}}$ 对应是RC积分滤波器， $F\left( s \right) = \frac{{1 + s{\tau _2}}}{{1 + s{\tau _1}}}$ 对应是无源比例积分滤波器， $F\left( s \right) = \frac{{1 + s{\tau _2}}}{{s{\tau _1}}}$ 对应是理想二阶环，三者的 $F\left( s \right)$ 不一样。

由于RC积分滤波器、无源比例积分滤波器对于频率阶跃信号来说，稳态误差也不为0，因此常采用理想二阶环。

上面两图中出现了“阶”与“型”，这两个字是什么意思呢？

“阶”是环路开环传递函数总极点的个数，“型”在原点的极点个数。

先记住：决定环路稳态相差的不是环路开环传递函数总极点的个数——阶，而是在原点处的极点个数——型。

本文后面的代码实现，都将以理想二阶环路为例。

《Fundamentals of Global Positioning System Receivers》的第8章说到二阶环路时，一上来就写：

$F\left( s \right) = \frac{{s{\tau _2} + 1}}{{s{\tau _1}}}$ （5）

我当时还想了想为什么？

然后看到杜勇的《锁相环技术原理及FPGA实现》及郑继禹、张厥盛的《锁相技术》，里面均详细介绍了RC积分滤波器，无源比例积分滤波器，理想二阶环的区别。因此，我们暂且先记住以上提到的部分结论即可。

有了 $F\left( s \right) = \frac{{s{\tau _2} + 1}}{{s{\tau _1}}}$ ，代入 $H\left( s \right)$ ，可得到

$H\left( s \right) = \frac{{\frac{{{k_0}{k_1}{\tau _2}s}}{{{\tau _1}}} + \frac{{{k_0}{k_1}}}{{{\tau _1}}}}}{{{s^2} + \frac{{{k_0}{k_1}{\tau _2}s}}{{{\tau _1}}} + \frac{{{k_0}{k_1}}}{{{\tau _1}}}}} \equiv \frac{{2\xi {\omega _n}s + \omega _n^2}}{{{s^2} + 2\xi {\omega _n}s + \omega _n^2}}$ （6）

其中 ${\omega _n} = \sqrt {\frac{{{k_0}{k_1}}}{{{\tau _1}}}}$ ，叫做自然角频率， $\xi$ 是阻尼因子，后面会说到阻尼因子这个变量的值一般取多少。

环路噪声带宽如下：

${B_n} = \int_0^\infty {\left| {H\left( \omega \right)} \right|} df = \frac{{{\omega _n}}}{2}\left( {\xi + \frac{1}{{4\xi }}} \right)$ （7）

这个Bn在锁相环的参数设置中，是非常重要的一个量。

看了这么久公式，我们可能已经一脸懵逼了，甚至有点困倦了，回过头去不经思考：我们到底在干吗来着？？？

我们是要做锁相环的MATLAB代码实现，既然要实现数字系统，便就需要从连续域转到离散域。

那怎么从s域转到z域呢？

在本科的《数字信号处理》课程中，我们学习过IIR和FIR数字滤波器的设计方法，也伴随着有一些经典问题，比如IIR和FIR滤波器的区别？设计IIR滤波器，一般会讲脉冲响应不变法和双极性变换法，这两者的优缺点有哪些？

以上提到的问题，请读者思考几秒？（然后复习一下）

双极性变换法从s域到z域的映射公式如下：

$s = \frac{2}{{{t_s}}}\frac{{1 - {z^{ - 1}}}}{{1 + {z^{ - 1}}}}$ （8）

其中 ${{t_s}}$ 是采样周期，代入上面的F(s)，则有 $F\left( Z \right) = {C_1} + \frac{{{C_2}}}{{1 - {z^{ - 1}}}}$ （9）

${C_1} = \frac{{2{\tau _2} - {t_s}}}{{2{\tau _1}}}$ （10）

${C_2} = \frac{{{t_s}}}{{{\tau _1}}}$ （11）

所以环路滤波器等效如下：

图4 环路滤波器的z域图

模拟电路中的压控振荡器，在数字中用NCO（数字频率合成器）代替，这是为什么呢？

图5 NCO的数字化模型

注意到图片里面7-27，数字域NCO相当于相位累加器，代码实现中也可以观察到累加的过程。

有了 $N(z) = \frac{{{\theta _f}\left( z \right)}}{{{V_0}\left( z \right)}} \equiv \frac{{{k_1}{z^{ - 1}}}}{{1 - {z^{ - 1}}}}$ ，得到下面

假设你已经认真阅读过上面的公式后，为什么大概率还是没有写出可以实现的MATLAB代码呢？

这是由于z变换后，具体的程序是采用迭代来实现。

因此，我们需要将之前的表达式转换成迭代式子，方可让程序进行进行计算。

我将结合图与公式，将以上提到的材料转化成迭代表达式，便是我的一点点贡献了。

环路滤波器的z变换图上图所示，假设鉴相器的输入是 $f(i)$ ，NCO的输出是 $fin(i)$ ，则有下列表达式：

$input = {k_0} \cdot error(i) = {k_0} \cdot \left( {f(i) - fin(i)} \right)$ （12）

$B\left( i \right) = {k_0} \cdot error(i) \cdot {C_1} + A(i)$ （13）

$A\left( i \right) = {k_0} \cdot error(i) \cdot {C_2} + A(i - 1)$ （14）

由材料中已经给出的N（Z）公式：

$N(Z) = \frac{{{\theta _f}\left( Z \right)}}{{{V_0}\left( Z \right)}} = \frac{{{k_1}{z^{ - 1}}}}{{1 - {z^{ - 1}}}}$ （15）

转化到时域，有： ${\theta _f}\left( {i + 1} \right) - {\theta _f}\left( i \right) = {k_1} \cdot {V_0}\left( i \right)$ （16）

即 $fin(i + 1) = {k_1} \cdot B\left( i \right) + fin(i)$ （17）

令 ${k_0} = {k_1} = 1$ ，即可得到

for i = 2:length error(i) = f(i) - fin(i); A(i) = A(i-1) + error(i)*C2; B(i) = C1*error(i) + A(i); fin(i+1) = B(i) + fin(i); end % end for i

以上这一段代码，是锁相环MATLAB代码的核心，后面都将以这段代码为基础进行仿真。

结合上面已经计算出来的：

${C_1} = \frac{1}{{{k_0}{k_1}}} \cdot \frac{{8\zeta {\omega _n}{t_s}}}{{4 + 4\zeta {\omega _n}{t_s} + {{({\omega _n}{t_s})}^2}}}$ （18）

${C_2} = \frac{1}{{{k_0}{k_1}}} \cdot \frac{{4{{({\omega _n}{t_s})}^2}}}{{4 + 4\zeta {\omega _n}{t_s} + {{({\omega _n}{t_s})}^2}}}$ （19）

其中 ${{B_n}}$ 是等效噪声带宽， ${{t_s}}$ 是采样周期， $damp = \zeta$ 是阻尼因子，

${B_n} = \frac{{{\omega _n}}}{2}\left( {\zeta + \frac{1}{{4\zeta }}} \right)$ （20）

Bn = 300,ts=1e-4时跟踪情况三、各参数对二阶数字锁相环的性能影响

在上面的代码中，可以调整不同的等效噪声带宽 ${B_n}$ 和采样周期 ${{t_s}}$ ，观察这两个参数对二阶锁相环跟踪性能的影响。

忍不住好奇问，那为什么 $\zeta = 0.707$ ， ${k_0} = {k_1} = 1$ ？或者说，这三个参数对二阶锁相环的跟踪性能有什么影响呢？

先来理解一下“锁相环为什么能跟踪相位？”

继续来说，为什么 $\zeta = 0.707$ ？

相位裕度和增益裕度，伯德图等相关概念，本科的《模拟电子线路》，也叫《低频电子线路》讲到过，请读者自行百度或者复习之前课本哦，这就不展开说啦。

《锁相环技术原理及FPGA实现》中讲到：工程上为确保环路稳定，要求增益裕度大于等于6dB，相位裕度30度到60度。

那么 ${k_0}$ 、 ${{k_1}}$ 对二阶锁相环的性能有什么影响呢？

图片中的 ${K_z}$ 即是上面一直提的 ${{k_0}{k_1}}$ 。

上面的锁相环核心代码中，只用到了 ${C_1}$ 、 ${C_2}$ ，而 ${C_1}$ 、 ${C_2}$ 均与 ${{t_s}}$ 、 $\xi$ 、 ${{\omega _n}}$ 、

${{k_0}}$ 、 ${{k_1}}$ 有关，固定了 ${{k_0}}$ 、 ${{k_1}}$ 、 $\xi$ ，而 ${{t_s}}$ 一般就是符号速率的倒数。

因此，调整噪声带宽Bn便是相当于调整 ${{\omega _n}}$ ，进而调整 ${C_1}$ 、 ${C_2}$ 。

上面讲到了NCO是相位累加器的作用，下面从相位误差来看，锁相环是如何锁相的。

可以看到锁相环已经能够顺利对多普勒频偏进行补偿，产生同频同相的载波。

解释一下常见的一段代码：

%%%%%%为了看到频差 if(k>200) &&(k

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