【信号与系统学习笔记】

在这一篇 B l o g Blog Blog 中，博主打算记录一下周期信号傅里叶级数的一些重要性质。在阅读本文之前，请明确一件事情：对于周期信号我们讲的是傅里叶级数展开。对于非周期信号我们讲傅里叶变换。

当时傅里叶的论文中有这样一句话：“所有的连续时间信号都能够表示成成谐波关系的复指数信号的加权和”。在当时引来了像拉普拉斯等人的强烈反对。傅里叶认为：对于周期方波信号，只要我取的正弦信号足够多，那么我就一定能够完美地拟合出来。如下图所示： 但实际上并不是这样，无论我们的正弦信号取了多少，在原方波的间断点处不可避免地会出现震荡和超量。超量的幅度并不会随着我们所选取的正弦波的数量增多而减少，选取的正弦波的数量增多只会使得超量的震荡频率更大，并且朝着间断点处压缩。这就是所谓的 “吉布斯现象”。

那么，到底什么样的连续时间信号才能够展开成傅里叶级数呢？我们下面给出三个条件（其中条件三是狄里克雷第一定理）。连续时间的周期信号只要满足三者之一，就可以展开成傅里叶级数： 【条件一】：信号全部连续 【条件二】：信号在一个周期内能量有限： 1 T 0 ∫ T 0 ∣ x ( t ) ∣ 2 d t < ∞ \frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2dt ak​}。下面给出信号奇分量和偶分量的求法： E v { x ( t ) } = x ( t ) + x ( − t ) 2   O d { x ( t ) } = x ( t ) − x ( − t ) 2 Ev\{x(t)\} = \frac{x(t) + x(-t)}{2} \\ \space\\ Od\{x(t)\} = \frac{x(t) - x(-t)}{2} Ev{x(t)}=2x(t)+x(−t)​ Od{x(t)}=2x(t)−x(−t)​

我们先给出结论：若 x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶级数是 a k a_k ak​，那么 ∂ x ( t ) ∂ t \frac{\partial{x(t)}}{\partial t} ∂t∂x(t)​ 的傅里叶系数就是： a k j ω 0 t a_k jω_0t ak​jω0​t

下面给出证明：我们先从 x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶展开表达式入手。由于： x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ω 0 t x(t) = \sum_{k=-∞}^{+∞}a_ke^{jkω_0t} x(t)=k=−∞∑+∞​ak​ejkω0​t 下面我们直接对等式两边求导，得： ∂ x ( t ) ∂ t = ∑ k = − ∞ + ∞ ( a k j k ω 0 )   e j k ω 0 t \frac{\partial{x(t)}}{\partial t} = \sum_{k=-∞}^{+∞}(a_kjkω_0)\space e^{jkω_0t} ∂t∂x(t)​=k=−∞∑+∞​(ak​jkω0​) ejkω0​t 因此，新的傅里叶系数就是： a k j k ω 0 a_k jkω_0 ak​jkω0​

利用微分型，我们一样可以计算出连续时间周期矩形信号的频谱。这里不详细展开，但是提几个突破口：

这个定理的表示简单，但是证明是比较困难的。下面我们直接给出： 对于一个周期信号的平均功率的计算，可以把它的所有傅里叶系数的平方加起来。 1 T ∫ T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = ∑ k = − ∞ + ∞ ∣ a k ∣ 2 \frac{1}{T}\int_{T}|x(t)|^2dt = \sum_{k=-∞}^{+∞}|a_k|^2 T1​∫T​∣x(t)∣2dt=k=−∞∑+∞​∣ak​∣2

同时，我们也引入周期信号功率谱的概念：周期信号的 ∣ a k ∣ 2 |a_k|^2 ∣ak​∣2 随着 k ω 0 kω_0 kω0​ 变化的情况称为功率谱。 对应地，非周期信号还有功率谱密度，我们以后再来介绍。