连续性和可导性（两种类型的光滑性）

连续性：直觉上告诉我们，连续函数的图像必须能一笔画成 可导性：直觉上告诉我们，在可导函数的图像中不会出现尖角

在一点处连续、在区间上连续

例子1： 下图中左极限 ≠ \neq =右极限，所以双侧极限不存在 例子2： 下图函数在 x = a x=a x=a 处无定义， f ( a ) f(a) f(a)不存在 例子3： 下图双侧极限与 f ( a ) f(a) f(a)不等 例子4： 下图函数在 x = a x=a x=a 处连续

[ a , b ] [a,b] [a,b] ( a , b ) (a,b) (a,b)

单侧连续性：函数定义域包括一个带有左端点和 / 或右端点的区间

右连续 x ∈ [ a , b ) lim ⁡ x → a + f ( x ) = f ( a ) x\in [a,b)\\ \lim_{x \rightarrow a^+}f(x)=f(a) x∈[a,b)x→a+lim​f(x)=f(a) 左连续 x ∈ ( a , b ] lim ⁡ x → b − f ( x ) = f ( b ) x \in (a,b] \\ \lim_{x \rightarrow b^-}f(x)=f(b) x∈(a,b]x→b−lim​f(x)=f(b)

1.一个连续函数的常数倍是连续的 2.两个连续函数做加法、减法、乘法、复合，会得到另一个连续函数 3.一个连续函数除以另一个连续函数（除分母为0外）商函数处处连续 4.所有的指数函数和对数函数都是连续的 5.所有的三角函数也是连续的（除了在它们渐近线上）

介值定理的应用：方程的解

例子：证明方程 x = c o s ( x ) x=cos(x) x=cos(x) 有一个解 不需要求出解的具体值，只需证明存在一个解即可

小窍门：将所有表达式放到等号左边

f ( x ) = x − c o s ( x ) = 0 f(x)=x-cos(x)=0 f(x)=x−cos(x)=0 证明 f ( c ) = 0 f(c)=0 f(c)=0

y = x y=x y=x是连续函数， y = c o s ( x ) y=cos(x) y=cos(x)是连续函数，故 f ( x ) f(x) f(x)是连续函数

选取 a = 0 ， b = π 2 a=0，b=\frac{\pi}{2} a=0，b=2π​ f ( x ) f(x) f(x)在区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)上连续 f ( a ) = 0 − c o s ( 0 ) = − 1 < 0 f(a)=0-cos(0)=-1 \lt 0 f(a)=0−cos(0)=−1 0 f(b)=\frac{\pi}{2}-cos(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2} \gt 0 f(b)=2π​−cos(2π​)=2π​>0 由介值定理得，在区间 ( 0 , π 2 ) (0,\frac{\pi}{2}) (0,2π​)上存在常数 c c c 使得 f ( c ) = 0 f(c)=0 f(c)=0，于是证明了方程 x = c o s ( x ) x=cos(x) x=cos(x) 至少有一个解

证明：任意的奇数次多项式至少有一个根（对于偶数次多项式不成立） p ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 x 0 p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0x^0 p(x)=an​xn+an−1​xn−1+⋯+a0​x0

为了确保可以使用最大值与最小值定理，连续性区间必须是闭的

闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]内函数连续，函数至少有一个最大值和一个最小值 闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]内函数不连续，函数无最大最小值 开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)端点无定义，函数可能有最大最小值，也可能没有，也可能只有最大值或者只有最小值

开始时间 t t t，终止时间 u u u

不能用 u = t u=t u=t 作替换，会得到 0 0 \frac{0}{0} 00​

令 h = u − t h=u-t h=u−t，当 u u u 越来越靠近 t t t 时， h → 0 h\rightarrow 0 h→0

斜率就是时间段 ( t , u ) (t,u) (t,u) 的平均速度

切线不是只能与曲线仅相交一次 下图函数图像在 x = 0 x=0 x=0 处出现尖角，故函数在此点处无导数

量 h h h 代表对 x x x 作了多少改变，因此用 Δ x \Delta x Δx 作替换

上图公式的重要阐释 函数求导的目的：当对函数 f f f 求关于变量 x x x 的导数时，只是为了看一下当对 x x x 做极小变动时函数 f ( x ) f(x) f(x) 有什么变化

例子：

f ( x ) = x 2 ， f ′ ( x ) = 2 x f(x)=x^2，f'(x)=2x f(x)=x2，f′(x)=2x 当 x = 6 x=6 x=6 时， f ( 6 ) = 36 ， f ′ ( x ) = 12 f(6)=36，f'(x)=12 f(6)=36，f′(x)=12 当 x x x 变化 0.01 0.01 0.01 时，则函数值 36 36 36 将会变化 12 × 0.01 12×0.01 12×0.01，因此猜测 f ( 6.01 ) = 36.12 f(6.01)=36.12 f(6.01)=36.12 而实际结果为 36.1201 36.1201 36.1201，出现误差

上述误差的原因：

f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 并不真正地等于 Δ y \Delta y Δy 和 Δ x \Delta x Δx 的比值，它等于当 Δ x \Delta x Δx 趋于 0 0 0 时该比值的极限

f ( x ) = m x + b f(x)=mx+b f(x)=mx+b

f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = d y d x f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx} f′(x)=Δx→0lim​ΔxΔy​=dxdy​ f ′ ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ′ ( x + Δ x ) − f ′ ( x ) Δ x = d d x ( d y d x ) = d 2 y d x 2 f''(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{\Delta x}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d^2y}{dx^2} f′′(x)=Δx→0lim​Δxf′(x+Δx)−f′(x)​=dxd​(dxdy​)=dx2d2y​ 零阶导 f ( 0 ) ( x ) f^{(0)}(x) f(0)(x)（原函数，未进行求导） 三阶导 f ( 3 ) ( x ) f^{(3)}(x) f(3)(x) 四阶导 f ( 4 ) ( x ) f^{(4)}(x) f(4)(x) n n n 阶导 f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x)

右导数

左导数

如果 左导数与右导数 存在且相等，那么实际导数存在且有相同的值

x > 0 ， f ′ ( x ) = 1 x \gt 0，f'(x)=1 x>0，f′(x)=1 x < 0 ， f ′ ( x ) = − 1 x \lt 0，f'(x)=-1 x