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定义1: 设 f f f是 X X X上的实函数,若 ∀ t ∈ R \forall t \in \mathbb{R} ∀t∈R,集合 X ( f > t ) X(f>t) X(f>t)是 F \mathcal{F} F可测集,则称 f f f为 X X X上的 F \mathcal{F} F可测函数,简称可测函数。 定理1: 设 f f f是 X X X上的实函数,则以下条件等价。 (1) f ∈ M f\in \mathcal{M} f∈M; (2) ∀ t ∈ R \forall t \in \mathbb{R} ∀t∈R, X ( f ≥ t ) X(f\ge t ) X(f≥t)是可测集; (3) ∀ t ∈ R \forall t \in \mathbb{R} ∀t∈R, X ( f < t ) X(f< t) X(ffk(x)}; (2) inf k ≥ 1 { f k ( x ) } \inf\limits_{k \ge 1}\{f_k(x)\} k≥1inf{fk(x)}; (3) lim k → ∞ ‾ f k ( x ) \overline{\lim\limits_{k \rightarrow \infty}}f_k(x) k→∞limfk(x); (4) lim k → ∞ ‾ f k ( x ) \underline{\lim\limits_{k \rightarrow \infty}}f_k(x) k→∞limfk(x);都是 X X X上的可测函数,若 lim k → ∞ f k ( x ) = f ( x ) \lim\limits_{k \rightarrow\infty} f_k(x)=f(x) k→∞limfk(x)=f(x)则 f ( x ) f(x) f(x)还是 X X X上的可测函数。 |
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