[快乐数学]极值点偏移再突破 你真的很了解极值点偏移了？

虽然我们之前讲过极值点偏移，但之前的方法并不全面。这次我们重提极值点偏移，希望能有新的突破。这篇专栏的有些方法还可以用来解决类极值点偏移问题，非常重要。

这个方法我们之前就讨论过了。

这篇专栏的1.就是常规方法。

这种方法的核心在于，题目已知的是关于函数值的条件，问的却是关于自变量的问题。自变量和函数值的联系就是函数本身。所以我们才会用通过对待证式进行一些变换之后套上函数这种方法。

这个我们也讲过了。

再好好看看吧。

我现在只想再补充几句。

如果题目含指数，这时可以考虑让不等式的a，b带指数。

如令a=e的x次方等。

或对指数式取对数。

另外不等式常常和初中教过的

相结合。

有时还要用糖水不等式。

(以前埋的坑总算有用了)

下面就是新内容了。

还是以不等式这篇里的这题为例吧。

极值点偏移问题本质上就是个双变量问题，所以

比值代换的思路可谓老生常谈。

双变量换单变量

一般说来，我们有两种常见的变换方法。

就是3.和4.的两种方法。

这两种方法是在等式上做文章。比值代换首先要变换出x1比x2，令它为t。

为了方便我们可以规定x2＞x1。

顺势得出x2＞1＞x1＞0

接下来才是重点，令比值为t＞1

则x2=tx1

代回原等式

于是我们可以解出x1

x2=tx1

于是我们就用t这一个变量表达了x1和x2两个变量。

接下来，无论题目问的是什么，我都能解决。(理论上)

接下来把这两个式子代入x1+x2，只需证明一个一元函数大于2即可，我就不废话了。

和比值代换类似，只是我们设x2-x1=t＞0。

然后用同样的方式解出x1，x2。

差值代换同样可以解上题，我就不多说了。

出于我之后会提到的原因，我们有时需要自己判断极值点偏移的结果。这时就可以用这种方法。

不知道看到这个标题你有没有想到拉格朗日中值定理。

没错，接下来的内容

需要拉格朗日中值定理。(笑

先证明一个引理，对满足以下条件的函数f(x)来说，

1.函数是闭区间[a，b]上连续

2.函数在开区间(a，b)上可导

3.导函数在闭区间[a，b]上连续

4.导函数在开区间(a，b)上可导

5.二阶导大于等于0且等会仅在有限多个点处成立

(放心，高中遇到的函数基本上都是满足这五个条件的。)

则f(x)-f(x0)≥f’(x0)(x-x0)恒成立，其中x,x0∈(a，b)

这个不等式你一样就看出来了吧。

把(x-x0)除过去就变成了割线斜率和切线斜率的关系。

下面为了偷懒我只证明x>x0的情况，其他情况的证明和这个类似。

要证它，即证它除以(x-x0)的结果，

再用拉格朗日中值定理，也就是证

当然，x＜ζ＜x0

所以我们只需证明f’(x)单调递增即可。

(条件1和2是保证我们能用拉格朗日中值定理)

根据这个

(这也是条件3 4 5的由来)

f’(x)单调递增，证毕。

(如果考试真的要你证这个结论，替代方法我以前讲过了)

现在，我们取a=x1，b=x2，x0为a，b的平均值，则有

极值点偏移问题中f(x1)=f(x2)

(如果一阶导是减函数那不等式就会反向，证明和上面一样)

这种题你可以用我上面的方法解，但如果你看答案，它会有另一种解法。

如果函数的极值点是x0，还是以我刚刚证明的结论为例

而极值点偏移刚好解决的就是x1+x2的平均值和x0的相对大小。

你先用极值点偏移得到它们的相对大小再用导函数的单调性就能很快证明。

这个思路往往比我前面那样证更快。

如果我们把这种题反一下呢？

我先用我刚刚的证明方法证明这个结论，再用这个结论反过来证明极值点偏移是不是也可以？

利用这种方式，你很快就能得到下面的结论

(我已经做了必要的简化，删去了高中研究的函数必定满足的条件)

若二阶导递增，

递减就变一下不等号方向。接着再用导函数单调性你就能迅速得到极值点偏移的结果。

这种方法本质上就是我刚刚讲的方法，你可以自己思考一下。

我直接给结论。

如果三阶导是正的，

函数有极大值，

则极值点左偏。

函数有极小值，

则极值点右偏。

如果三阶导是负的，

函数有极小值，

则极值点左偏。

函数有极大值，

则极值点右偏。

至于函数有极大值还是极小值可以用表格法判断，也可以用二阶导判断。(表格法是高中基本方法，二阶导是高数方法，之前讲过了)

至于极值点偏移的变形——拐点偏移，我们可以用四阶导判断。

但是。。。。四阶导。。。。。。太麻烦了，我就不建议用了。

至于这种方法的记忆，可以把极值点为正视为正，极大值视为正，左偏视为正。

如果三阶导是正的，函数有极大值，视为正数乘以正数得到正数，即极值点左偏。

当然，你有其他记忆方法也行。

除此之外有一种简单粗暴的方法，但它的适用范围不广。那就是极限法。

极限法就是取极限位置，比如令f(x1)=f(x2)=很大很大的数。或者更进一步，直接趋于+∞，如果x2也趋于+∞那我们就可以断言x1+x2>m。

这大概是你没听过的方法吧。看到这个名字有没有想到什么定理？

迫敛定理想到没有？

什么？你没听过这个名字？

你非逼着我说夹逼定理是不是？

曲线夹是一个讲起来比较费劲的方法，我觉得我还是专门再出个专栏介绍比较好。

除此之外，曲线夹还有个兄弟——切线夹。

我们之后再说吧。

这个技巧我已经连续多次强调了。

甚至今年7月浙江省学考题中也有能构造同构式的题。

这里我要讲的同构又有点不同了。

还是以比值代换那题为例吧。

我们设x1＞x2。

f(x1)=f(x2)本身就是同构式，但x1+x2>2不是。

像这种和式我们有一种常用的方法可以把它变成同构式。

两边同时乘以(x1-x2)得

发现了吗？同构式出来了。

按照能因式分解尽量因式分解的原则我们可以把式子变成这样。

题目给的同构式是

而且题目给的是等式你发现没有？

如果等式两边同时除以它就能把孤零零的x1和x2消掉，变成

由于x1＞x2，现在只需证e的x次方(x-2)单调递增即可。

这个就不用我说了吧。

这个函数并不是单调递增的。所以这种方法在这里就失效了。

但是对于其他函数，它有可能是单调递增的，所以这个方法还是有价值的。

或者有些人不这么做。

两边同时减它，但是这样你可能就。。。。。。。。。会做到吐血。

还有一些人会发现，等式和不等式都有孤零零的x1和x2。并且都能转化为x1/x2

所以这样做

也是可以的。

这三种都是常用方法，只要能构造出单调函数即可。

刚刚讲了极值点偏移，现在就来说说我们反复提到的类极值点偏移吧。

很多类极值点偏移问题可以用换元法转化为极值点偏移问题。

比如当你遇到

时，令t1=e的x1次方，t2=e的x2次方，再反解出x1和x2就把这题转化为了极值点偏移问题。

但是题目往往还会进一步隐藏，比如

可以隐藏为

等等。

这种问题就是类极值点偏移问题。

类极值点偏移问题往往有以下特征

1.求证关于x1，x2的不等式

2.x1和x2轮换对称

3.f(x1)=f(x2)

除了换元转化为极值点偏移问题，类极值点偏移问题还可以用比值代换和差值代换等方法解决。

虽然说上面的一些方法可以用于类极值点偏移问题，但你也不能无脑用。

不同的方法面对不同的题目复杂程度是不同的。

你在解决问题时选择不同的函数也会影响复杂程度。

如果你选择的函数的极值点不是你需要的，那不要急着换方法。把函数变形或许就能把极值点变成你想要的。

我前面给的极值点偏移问题都是x1+x2形式的，实际上我们在这里

提过这题

也是极值点偏移问题。

由这类问题还能演变出一种类极值点偏移问题

等等。

但是这个模型我要单独拿出来说，因为它有一个特殊情况很重要。

展开

有没有一丝熟悉？

我们刚刚讲过

吧。

发现没有，不同的变换能带来不同的结果。这才是类极值点偏移真正难和地方。

可能你想按照我最开始给的方法证明，但是不等式的方向会反掉，一看答案答案用的是另一种变换。

至于不等式方向的预判。。。。。用极限法或三阶导或中切线与斜率关系即可。

(这下知道这仨方法有啥用了吧)

反正你要知道，不同的变换能带来不同的结果，你没证出来很有可能的变换不恰当。

另外，极值点偏移还能变化成拐点偏移，这个完全可以和极值点偏移类比。有时间再说吧。

如果你很迫切的想知道，那就看看吧。