应力波在树木不同角度纵截面的传播速度模型

木材具有中空的细胞组成的蜂窝状结构，而细胞壁的主体是厚度最大的次生壁中层，其中微细纤维紧密靠拢，与纵轴呈10°~30°的交角，这是木材各向异性的原因。大量试验和研究表明，木材的这种各向异性可以简化为正交各向异性，即在3个相互垂直的材料主轴，横纹径向、横纹切向和顺纹纵向，分别具有不同的物理力学性质。木材的这种材料性质对其破坏特征具有显著的影响。

在实际应用中，木材的受力方向可能与木材天然形成的木纹方向不同，此时需要考虑木材斜纹的承受能力。1921年，HANKINSON在大量试验结果的基础上总结出了木材斜纹抗压强度公式，即HANKINSON公式：

式（1）中：θ为作用力方向与木纹方向的夹角；fc, θ为木材斜纹抗压强度；fc, 0为木材顺纹抗压强度；fc, 90为木材横纹抗压强度。从HANKINSON公式可以推导出应力波传播速度，若传播方向与木材纹理方向所成角度为θ，则有：

式（2）中：vl表示顺木材纹理方向的应力波速度，vr表示木材横纹方向的应力波速度。公式（2）可转变为：

令y＝v（θ）/vr，若θ＝90°，则有y＝vl/vr；若θ＝0°，则有y＝1。在θ＝0°处用二阶泰勒展开公式（3）得到：

DIKRALLAH等通过导波实验分析了湿材的声学各向异性，研究了应力波与纵截面夹角之间的数学关系，得到应力波速度v与纵截面夹角α之间的数学关系。方程如下：

式（5）中：v（α），vR，ER，ET，GRT分别代表纵截面夹角为α的传播速度、径向速度、径向弹性模量、切向弹性模量、剪切模量。令f（α）=v（α）/vR，可得：

式（6）中：g（α）＝ $\sqrt {\left[ {1 + {E_{\rm{T}}}/{E_{\rm{R}}} \cdot {{\tan }^4}\alpha + 2 \cdot {G_{{\rm{RT}}}}/{E_{\rm{R}}} \cdot {{\tan }^2}\alpha } \right]} $ ；由式（6）可知：f（0）＝1，f ′（0）＝0，f ″（0）＝-2（1-GRT /ER）。当θ＝0时，通过麦克劳林公式将方程展开为一个关于多项式和一个余项的和，化简得到如下方程：

由式（7）可知：在横截面近似为理想圆的情况下，v（α）/vR与α间的曲线近似为二次抛物线，且关于α＝0对称。而在计算应力波在纵截面上传播的速度时应考虑方向角和纵截面夹角大小，将木材任意2点间的应力波传播速度定义为方向角θ和纵截面夹角α，所测树木的纵向传播速度vl，径向应力波传播速度vr。由式（2）和式（6）可得出：v（θ, α）＝vl·vr /（vl·sin2θ+vr·cos2θ）＝vl·vR（-0.2α2+1）/[vl·sin2θ+vR（-0.2α2+1）·cos2θ]，令f（θ, α）＝v（θ, α）/vr，即：

理论分析表明，在纵截面夹角α固定的情况下，沿方向角θ的应力波速度和径向速度比值近似为一条二次曲线，我们把式（8）作为健康树木中应力波在纵截面上的传播理论模型，将方向角θ定义为x，k＝[vl-vR（-0.2α2-1）] /vl，则可将式（8）转化为y＝1+kx2。从中可知：应力波在纵截面上的传播速度曲线图呈二次曲线型，α的大小决定着k的大小，即决定着二次曲线开口大小，增长速率的快慢。