轮式移动机器人的运动控制入门

目的

　　本文介绍轮式移动机器人的镇定和跟踪控制理论和方法入门。这里提到的移动机器人主要是指像汽车这种采用轮子移动的机器人。在我们有生之年就能看到路上的汽车变成一个个移动机器人。

1　前言

　　如果你经常看历史剧可能会注意到一个有意思的现象，不管是中国还是外国，古代的车几乎都是两轮形式的，超过两轮的车不是很常见。这是为什么呢？究其原因当然有很多，但最主要的可能是古人一直没弄明白多车轮（三轮以上）的车怎么拐弯。可别小看这个问题，拥有多个车轮的车辆转弯不是那么容易的，每个车轮的速度、角度必须满足特定的几何关系。在人类文明史上，车轮的发明是个重大突破，怎么把多个车轮组合起来用好也是个挑战，本文结合最近的理论成果探讨一下其中的难点和方法。

　　“控制”是一个有些被用烂了的词汇，它的含义太广了。所以首先要明确，当我们在谈论控制时我们到底在谈什么？和大多数的控制系统一样，移动机器人的控制任务也可以简单分成以下两种： 　　1　镇定：控制机器人到达并稳定在某个静止的状态，实际生活中的例子就是把汽车停到一个指定的停车位里。 　　2　跟踪：控制机器人跟随某个运动着的状态（即轨迹），实际生活中的例子就是让汽车沿着车道中心线行驶。 　　 ★ \bigstar ★　这两个任务哪个更难呢？ 　　即便缺少机器人控制的常识，完全根据经验判断，对于机械臂来说，控制它稳定到某个状态比控制它跟踪一个空间轨迹更简单，所以很多人理所当然地认为轮式移动机器人的“镇定”比“跟踪”更简单。但是实际情况是镇定更难，这是由于运动约束的存在 [ 1 ] ^{[1]} [1]。也就是说轮式移动机器人和机械臂的控制难度刚好反过来了。哈哈！没想到吧。

2　汽车模型

　　一般的汽车都是四轮形式，为了实现顺畅地转向，前轮采用艾克曼转向机构，后轮采用差速器。在大多数论文中，一般把四轮汽车用两轮的自行车模型描述，这样的简化不改变问题的本质，而且在数学上处理更方便。这样得到的模型可以用式 ( 1 ) (1) (1)所示的方程来描述，称为车辆的简化运动学方程。本文只考虑运动学模型的控制，不考虑动力学，这是因为控制上的难度主要是运动学约束造成的。 x ˙ = v c o s ( θ ) y ˙ = v s i n ( θ ) θ ˙ = v L t a n ( ϕ ) (1) \begin{aligned}\tag{1} &\dot{x}=v cos(\theta)\\ &\dot{y}=v sin(\theta)\\ &\dot{\theta}=\frac{v}{L}tan(\phi) \end{aligned} ​x˙=vcos(θ)y˙​=vsin(θ)θ˙=Lv​tan(ϕ)​(1)

　　其中， ( x , y , θ ) (x,y,\theta) (x,y,θ)是车后轴中心点的位置和汽车的姿态，可以称为状态量（常被称为位姿），是我们想改变的；而 ( ϕ , v ) (\phi,v) (ϕ,v)是控制量，是我们能直接改变的，如下图所示。 ϕ \phi ϕ代表自行车前轮的转角（单位是度或者弧度）， v v v代表后轮的速度（单位是m/s）。控制量一般总是受约束的，例如 − 30 ° ≤ ϕ ≤ 30 ° -30\degree\le\phi\le30\degree −30°≤ϕ≤30°， − 1 -1 −1m/s ≤ v ≤ \le v \le ≤v≤ 1 1 1m/s。转向角度 ϕ \phi ϕ有个上下限，这导致机器人也有个最小转向半径 R ≤ R m i n = L / t a n ( ϕ m a x ) R\le R_{min}=L/tan(\phi_{max}) R≤Rmin​=L/tan(ϕmax​)，其中 L L L是前后车轮轴的距离。这一特点是自行车模型与其它机器人模型的重要区别。有一种两轮形式的机器人模型叫差速机器人，它是最常见也是被研究最多的机器人了。差速机器人没有转向半径的限制，可以原地转向，所以它的控制比自行车模型容易，这也是为什么你们家的扫地机器人采用这种形式的原因。 　　可以说移动机器人的控制任务就是通过改变 ( ϕ , v ) (\phi,v) (ϕ,v)来改变 ( x , y , θ ) (x,y,\theta) (x,y,θ)达到期望的状态。这个看起来简单的模型和任务其实一点也不简单，为了研究它我们不得不动用一些数学兵器库中的重武器。

　　在讨论控制问题之前，我们先分析一下这个模型有什么特点，这样在进入到后面的分析时会有所准备。 　　1　从数学的角度看，方程中包含状态 θ \theta θ的三角函数，所以它是个非线性系统。这是个坏消息，因为非线性系统的分析和控制一般比线性系统更困难。 　　2　从驱动数量的角度看，模型中控制量的个数少于状态量的个数（ 2 < 3 2