现代控制理论

最近重温了现代控制理论，现对重要知识点做一个总结。

状态方程是现代控制理论的基础，不同于经典控制理论中的传递函数，状态方程引入了系统的内部状态，外部控制输入的作用引起了状态的改变，状态的线形组合构成了系统的输出。状态空间输入-输出方程一般形如 x ˙ = A x + B u y = C x + D u \dot x= Ax+Bu\\y= Cx + Du x˙=Ax+Buy=Cx+Du

两种方式构建状态方程：

机理推导：即结合物理知识（如力、电、流体等），运用公式对对象进行描述，从而选择合适的状态，将其转换为上述给出的一般形式。

例：建立电动机的输出扭矩与电机轴转速的关系，设扭矩为 u u u，轴的转动惯量为 J J J，角位移为 θ \theta θ（忽略负载、摩擦、阻尼等），则有 J θ ¨ = T J\ddot \theta = T Jθ¨=T 这里，我们取 x 1 = θ x_1=\theta x1​=θ， x 2 = θ ˙ x_2=\dot \theta x2​=θ˙，则有 x ˙ 1 = x 2 \dot x_1=x_2 x˙1​=x2​， x ˙ 2 = u J \dot x_2 = \frac{u}{J} x˙2​=Ju​，输出转速为 y = x 2 y=x_2 y=x2​。因此，状态方程的系数矩阵可写为 A = [ 0 1 0 0 ] A=\left[ \begin{matrix} 0 & 1\\0 & 0 \end{matrix} \right] A=[00​10​], B = [ 0 1 J ] B=\left[ \begin{matrix} 0\\\frac{1}{J}\end{matrix}\right] B=[0J1​​], C = [ 0 1 ] C=\left[ \begin{matrix} 0 & 1\end{matrix}\right] C=[0​1​], D = 0 D=0 D=0

从传递函数求取

例1：设一单输入-单输出系统（SISO）的传递函数（无零点）为 W ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = 1 s 2 + 3 s + 2 W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+3s+2} W(s)=U(s)Y(s)​=s2+3s+21​其对应的微分方程为 y ¨ + 3 y ˙ + 2 y = u \ddot y+3\dot y+2y=u y¨​+3y˙​+2y=u。取 x 1 = y , x 2 = y ˙ x_1=y,x_2=\dot y x1​=y,x2​=y˙​，则 A = [ 0 1 − 2 − 3 ] , B = [ 0 1 ] , C = [ 1 0 ] , D = 0 A=\left[ \begin{matrix} 0 & 1\\-2 & -3 \end{matrix} \right],B=\left[ \begin{matrix} 0\\ 1 \end{matrix}\right],C=\left[ \begin{matrix} 1 & 0\end{matrix}\right],D=0 A=[0−2​1−3​],B=[01​],C=[1​0​],D=0

例2：设一单输入-单输出系统（SISO）的传递函数（有零点）为 W ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = s + 4 s 2 + 3 s + 2 W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{s+4}{s^2+3s+2} W(s)=U(s)Y(s)​=s2+3s+2s+4​ 该传递函数对应的微分方程包含控制输入的导数，需要进行处理。这里我们以例1为基础，设 Y 1 ( s ) = 1 s 2 + 3 s + 2 U ( s ) Y_1(s)=\frac{1}{s^2+3s+2}U(s) Y1​(s)=s2+3s+21​U(s)则 Y ( s ) = Y 1 ( s ) ( s + 4 ) Y(s)=Y_1(s)(s+4) Y(s)=Y1​(s)(s+4)对其进行拉式反变换得 y = y ˙ 1 + 4 y 1 y=\dot y_1+4y_1 y=y˙​1​+4y1​。此时，状态变量 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1​,x2​选取和例1相同，仅输出方程发生变化。 A = [ 0 1 − 2 − 3 ] , B = [ 0 1 ] , C = [ 4 1 ] , D = 0 A=\left[ \begin{matrix} 0 & 1\\-2 & -3 \end{matrix} \right],B=\left[ \begin{matrix} 0\\ 1 \end{matrix}\right],C=\left[ \begin{matrix} 4 & 1\end{matrix}\right],D=0 A=[0−2​1−3​],B=[01​],C=[4​1​],D=0

从传递函数（SISO）得到状态空间方程有较多现成的方法，可以直接写出A，B, C, D矩阵。需要注意的是，当传递函数分子的最高阶次m大于分母的最高阶次n，此时没有对应的状态空间方程实现；当m=n，存在D不等于0，即有输入直接作用于输出的通道；当m