对于没有截距项的二元回归模型求该模型的最小二乘估计量，模型残差和是否一定为零?

首先给出线性回归方程： y=X\beta+\epsilon\\ 相应的最小二乘估计量为： \hat{\beta}=(X'X)^{-1}X'y\\ 由此可以计算出模型的残差项为： \begin{split} e&=y-X\hat{\beta}\\ &=[I-X(X'X)^{-1}X']y\\ \end{split}\\ 模型残差项的和为： \begin{split} l'e&=l'[I-X(X'X)^{-1}X']y\\ &=l'y-l'X(X'X)^{-1}X'y \end{split}\\ 如果是没有截距项的二元回归模型的话，可以将回归矩阵X写成向量 x ，相应的残差项之和为： \begin{split} l'e&=l'y-l'x(x'x)^{-1}x'y\\ &=n\bar{y}-\frac{n\bar{x}\sum_{i=1}^nx_iy_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2} \end{split}\\ 这个式子只有在 \bar{y}=\frac{\bar{x}\sum_{i}^nx_iy_i}{\sum_{i}^nx_i^2}时才会成立，存在以下几种情形时，该式还是会成立的：

题主问的是模型的残差项之和是否一定为零，其实只要举一个反例就可以了，我使用R语言构造了几个例子，有的残差项之和为零，有的残差项之和不为零，具体内容见下图。最终得出的结论是：模型残差项之和不一定为零。