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四象限里的正弦、余弦和正切
正弦、余弦和正切
三角法里的三个主要函数是正弦、余弦和正切。 算法很简单： 把三角形的一边除以另外一边 ……但我们必须知道是哪一边！ 以 θ 为角度，这些函数的计算方法是： 正弦函数： sin(θ) = 对边 / 斜边 余弦函数： cos(θ) = 邻边 / 斜边 正切函数： tan(θ) = 对边 / 邻边 例子：35°的正弦是多少？用这个三角形（长度准确到一个小数位）： sin(35°) = 对边 / 斜边 = 2.8/4.9 = 0.57…… 笛卡尔坐标在笛卡尔坐标里，我们用左右 和 上下 的距离来表达一个点： 点 (12,5) 是向右 12 单位，和向上 5 单位。 四个象限 包括负数在内，x轴 和 y轴把平面空间分成四个部分： 象限 I、II、III 和 IV （以逆时针方向排序） 在象限 I，x 和 y 两者皆为正数， 在象限 II ，x 是负数（y 仍是正数）， 在象限 III x 和 y 两者皆为负数， 在象限 IV，x 再次是正数，而 y 是负数。如下： 象限 X （水平） Y （垂直） 例子 I 正 正 (3,2) II 负 正 III 负 负 (−2,−1) IV 正 负例子：点 "C"（−2,−1）是在负（向左）2 单位和负（向下）1单位。 x 和 y 两者都是负数，所以点是在 "象限 III" 四个象限里的正弦、余弦和正切现在我们来看看在每个象限的 30°三角形。 在象限 I，一切正常， 正弦、余弦和正切 全是正数： 例子：30°的正弦、余弦和正切 正弦 sin(30°) = 1 / 2 = 0.5 余弦 cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866 正切 tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577
但在象限 II，x 是负数，余弦和正切也变成负数： 例子：150°的正弦、余弦和正切 正弦 sin(150°) = 1 / 2 = 0.5 余弦 cos(150°) = −1.732 / 2 = −0.866 正切 tan(150°) = 1 / −1.732 = −0.577
在象限 III，正弦和余弦是负数： 例子：210°的正弦、余弦和正切 正弦e sin(210°) = −1 / 2 = −0.5 余弦 cos(210°) = −1.732 / 2 = −0.866 正切 tan(210°) = −1 / −1.732 = 0.577注意：正切是正数，因为负数除以负数的结果是正数。
In 象限 IV，正弦和正切是负数： 例子：330°的正弦、余弦和正切 正弦 sin(330°) = −1 / 2 = −0.5 余弦 cos(330°) = 1.732 / 2 = 0.866 正切 tan(330°) = −1 / 1.732 = −0.577有个规律！看看正弦、余弦和正切在什么地方是正数…… 在象限 I，三个函数都是正数 在象限 II，只有正弦是正数 在象限 III，只有正切是正数 在象限 IV，只有余弦是正数在这图可以看得很清楚： 你可以记着英语字母 ASTC，就是 (A)ll（全部）、(S)ine、(T)angent 和 (C)osine。 这图也显示 "ASTC"。 两个值看这个正弦的图： （在头 360°里），有 两个角度的正弦是相同的！ 余弦 和 正切也一样。 麻烦的是：计算器只会给你其中一个答案…… ……但你可以用以下的规则来求另一个答案： 第一值 第二值 正弦 θ 180º − θ 余弦 θ 360º − θ 正切 θ θ − 180º若角度小于 0º，加 360º. 我们现在可以解方程在 0º 与 360º之间的答案了（用 反正弦、反余弦和反正切） 例子：解 sin θ = 0.5用计算器，我们得到第一个答案 = sin-1(0.5) = 30º （在象限 I） 另一个答案是 180º − 30º = 150º (（象限 II） 例子：解 tan θ = −1.3用计算器，我们得到第一个答案 = tan-1(−1.3) = −52.4º 这是小于 0º，所以加 360º：−52.4º + 360º = 307.6º （象限 IV） 另一个答案是 307.6º − 180º = 127.6º （象限 II） 例子：解 cos θ = −0.85用计算器，我们得到第一个答案 = cos-1(−0.85) = 148.2º （象限 II） 另一个答案是 360º − 148.2º = 211.8º （象限 III） 活动:沙漠步行 2 单位圆 互动单位圆 三角索引 |
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