材料力学笔记之拉伸和压缩

生产实践中经常遇到受拉伸或者压缩的构件，比如活塞的连杆，在油压和工作阻力作用下，承受交替拉伸和压缩。

轴向拉伸或轴向压缩变形是杆件基本变形之一。轴向拉伸或压缩变形的受力及变形特点是：杆件受一对平衡力F的作用，它们的作用线与杆件的轴线重合。若作用力F拉伸杆件则为轴向拉伸，此时杆被拉长(图虚线)；若作用力F压缩杆件则为轴向压缩，此时杆将缩短(图虚线)。工程中许多构件，如单层厂房结构中的屋架杆、各类网架结构的杆件等，这类结构的构件由荷载引起的内力其作用线与轴线重合，杆件发生轴向拉伸或压缩。

要研究在外力作用下，构件内部产生的内力有多大，我们通常用截面法来考察，上一篇文章《材料力学笔记之绪论》，已经介绍过截面法三个步骤。沿横截面m-m假想地把杆件分成两个部分，左右两个部分在横截面m-m上的相互作用的内力，是一个分布在横截面上的分布力系，这个力系的合力为FN。拿出左半部分来研究，平衡方程为FN=F。

习惯上把拉伸时的轴力（轴力背离横截面）规定为正，压缩时的轴力（轴力指向界面）规定为负。

如果沿杆件轴线方向有多个外力的时候，整个杆件各个部分的轴力不尽相同，这也是更接近实际的情况。通常我们会使用轴力图来表示轴力沿杆件轴线的变化。

我们举一个例子。

当杆受多个轴向外力作用时，如下图，求轴力时须分段进行，因为AB段的轴力与BC段的轴力不相同。

要求AB段杆内某截面m −m的轴力，则假想用一平面沿m −m处将杆截开，设取左段为脱离体，以FN1代表该截面上的轴力(图b)。于是，根据平衡条件∑Fx＝0，有FN1=-F。

负号表示的方向与所设的方向相反，即为压力。要求BC段杆内某截面n-n的轴力，则在n −n处将杆截开，仍取左段为脱离体，以FN2代表该截面上的轴力(图c)。于是，根据平衡条件∑Fx＝0，有FN2=F。

在多个力作用时，由于各段杆轴力的大小及正负号各异，所以为了形象地表明各截面轴力的变化情况，通常将其绘成“轴力图”(图d)。作法是：以杆的端点为坐标原点，取平行杆轴线的坐标轴为x轴，称为基线，其值代表截面位置，取FN轴为纵坐标轴，其值代表对应截面的轴力值。正值绘在基线上方，负值绘在基线下方，如图d所示。

应力

假定在未受力前在该杆侧面作相邻的两条横向线ab和cd,然后使杆受拉力F作用(下图b)发生变形，并可观察到两横向线平移到a′b′和c′d′的位置且仍垂直于轴线。这一现象说明：杆件的任一横截面上各点的变形是相同的，即变形前是平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于杆的轴线，称为平面假设。

根据这一假设，横截面上所有各点受力相同，内力均匀分布，内力分布集度为常量，即横截面上各点处的正应力σ相等(见图c、d)。由静力学求合力的概念

即拉压杆横截面上正应力σ计算公式。正应力的正负号取决于轴力的正负号，若FN为拉力，则σ为拉应力，若FN为压力，则σ为压应力，并规定拉应力为正，压应力为负。

应变

实验表明，杆件在轴向拉力或压力的作用下，沿轴线方向将发生伸长或缩短。同时，横向（与轴线垂真的方向）必发生缩短或伸长，如下图所示，图中实线为变形前的形状，红线为变形后的形状。

设L与d分别为杆件变形前的长度和直径，L1与d1为变形后的长度与直径，则变形后的长度改变量△L和直径改变量△d将分别为

△L和△d称为杆件的绝对纵向和横向伸长或缩短，即总的伸长量或缩短量。其单位为m或mm。

杆的变形程度用每单位长度的伸长来表示，即绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，称为线应变，并用符号ε表示。对轴力为常量的等直杆，其纵、横方向的线应变分别为

ε为纵向线应变。ε＇为横向线应变。它们都是量纲为一的量。

规定，△L和△d伸长为正，缩短为负；ε和ε＇的正负号分别与△L和△d一致，因此规定：拉应变为正，压应变为负。

实验表明，在弹性变形范围内，杆件的伸长△L与力F及杆长L成正比，与截面面积A成反比，

引进比例常数Ｅ，则有

这一关系式称为胡克定律。式中的比例常数E称为弹性模量，其单位为Pa。

EA称为杆的抗拉（压）刚度。

实验结果表明，在弹性变形范围内，横向线应变与纵向线应变之间保持一定的比例关系，以ν代表它们的比值之绝对值

ν称为泊松比，它是量纲为一的常数，其值随材料而异，可由实验测定。

考虑到纵向线应变与横向线应变的正负号恒相反，故有

弹性模量E和泊松比ν都是材料的弹性常数。

一、极限应力

材料丧失正常工作能力时的应力，称为极限应力，以σu表示。对于塑性材料，当应力达到屈服极限σs时，将发生较大的塑性变形，此时虽未发生破坏，但因变形过大将影响构件的正常工作，引起构件失效，所以把σs定为极限应力，即σu= σs。对于脆性材料，因塑性变形很小，断裂就是破坏的标志，故以强度极限作为极限应力，即σu= σb。

二、安全因数及许用应力

为了保证构件有足够的强度，它在荷载作用下所引起的应力（称为工作应力）的最大值应低于极限应力，考虑到在设计计算时的一些近似因素，如荷载值的确定是近似的；计算简图不能精确地符合实际构件的工作情况；实际材料的均匀性不能完全符合计算时所作的理想均匀假设；公式和理论都是在一定的假设下建立起来的，所以有一定的近似性；结构在使用过程中偶尔会遇到超载的情况，即受到的荷载超过设计时所规定的标准荷载等诸多因素的影响，都会造成偏于不安全的后果，所以，为了安全起见．应把极限应力打一折扣，即除以—个大于1的系数，以n表示，称为安全因数，所得结果称为许用应力，用[σ]表示。

三、强度条件

为了确保拉(压)杆件不致因强度不足而破坏，其强度条件为杆件的最大工作应力不许超过材料的许用应力。

根据强度条件，可以解决下列三种强度计算问题：

(1)强度校核  已知荷载、杆件尺寸及材料的许用应力，检验杆件能否满足强度条件。

(2)截面选择  已知荷载及材料的许用应力，按强度条件选择杆件的横截面面积或尺寸，即确定杆件所需的最小横截面面积。

(3)确定许用荷载  已知杆件的横截面面积及材料的许用应力，确定许用荷载。

应力集中

由杆件截面骤然变化（或几何外形局部不规则）而引起的局部应力骤增现象，称为应力集中。

在杆件外形局部不规则处的最大局部应力σ max必须借助于弹性理论、计算力学或实验应力分析的方法求得。在工程实际中，应力集中的程度用最大局部应力σ max与该截面上的名义应力σ nom（轴向拉压时即为截面上的平均应力）的比值来表示，即

Kσ=σ max/σ nom

这一比值Kσ称为理论应力集中因数，其下标σ表示是正应力。

在动荷载作用下，则不论是塑性材料，还是脆性材料制成的杆件，都应考虑应力集中的影响。试验结果表明，截面尺寸改变的越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。

来源： 碳纤维研习社