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贝塞尔函数、勒让德函数及其性质

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贝塞尔函数、勒让德函数及其性质

#贝塞尔函数、勒让德函数及其性质| 来源: 网络整理| 查看: 265

贝塞尔函数

贝塞尔函数是下列常微分方程的标准解函数，这个方程是在柱坐标或球坐标系下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和赫姆霍兹方程得到的。

$x^{2} \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}+x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+\left(x^{2}-\alpha^{2}\right) y=0\\$

贝塞尔函数的具体形式随着上述的实数 $\alpha$ 值的变化而变换，通常 $\alpha$ 为整数 $n$ ，对应解称为 $n$ 阶贝塞尔函数

第一类贝塞尔函数

第一类贝塞尔函数 $J_\alpha(x)$ 是 $\alpha$ 为非负时的解，通过幂级数展开，可以表示为：

$J_{\alpha}(x)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{m ! \Gamma(m+\alpha+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 m + \alpha}\\$

若 $\alpha$ 不为整数，则 $J_\alpha(x)$ 与 $J_{-\alpha}(x)$ 线性无关，若为整数，则满足：

$J_{-n}(x)=(-1)^nJ_n(x)\\$

第二类贝塞尔函数

$Y_{\alpha}(x)=\frac{J_{\alpha}(x) \cos (\alpha \pi)-J_{-\alpha}(x)}{\sin (\alpha \pi)}\\$

汉克尔函数

汉克尔函数也是贝塞尔方程的一对线性无关的解

$H^{(1)}_\alpha(x) = J_\alpha(x) + iY_\alpha(x)\\$

$H^{(2)}_\alpha(x) = J_\alpha(x) - iY_\alpha(x)\\$

贝塞尔函数的仿真

matlab中可以直接使用函数

besselj(n, x) bessely(n, x)

来生成第一类和第二类贝塞尔函数。

贝塞尔函数的递推关系

容易得到：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^nJ_n(x)] = x^nJ_{n-1}(x)\\$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[x^{-n}J_n(x)] = -x^{-n}J_{n+1}(x)\\$

$x J_{n}^{\prime}(x)+n J_{n}(x)=x J_{n-1}(x)\\$

$x J_{n}^{\prime}(x)-n J_{n}(x)=-x J_{n+1}(x)\\$

由上面两式可以得到：

$J_{n-1}(x) + J_{n+1}(x) = \frac{2n}{x}J_n(x)\\$

$J_{n-1}(x) - J_{n+1}(x) = 2J^{\prime}_n(x)\\$

对应的，可以得到：

$Y_{n-1}(x) + Y_{n+1}(x) = \frac{2n}{x}Y_n(x)\\$

$Y_{n-1}(x) - Y_{n+1}(x) = 2Y^{\prime}_n(x)\\$

勒让德函数

勒让德函数是勒让德方程的解：

$\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} P}{d x^{2}}-2 x \frac{d P}{d x}+n(n+1) P=0\\$

其中 $x = \cos\theta$ 。

$P_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left[n/2\right]}(-1)^{k} \frac{(2 n-2 k) !}{2^{n} k !(n-k) !(n-2 k) !} x^{n-2 k}, \quad n=0,1,2, \cdots\\$

这里需要考虑 $n$ 为偶数或是为奇数，实际上会有两种形式，其中一个为 $n$ 阶第一类勒让德函数，另一个是无穷级数，记为 $Q_n(x)$ ，成为第二类勒让德函数。

连带勒让德函数

连带勒让德函数是连带勒让德方程的解：

$\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2} P}{d x^{2}}-2 x \frac{d P}{d x}+\left[n(n+1) + \frac{m^2}{1-x^2}\right] P=0\\$

$P_n^{(m)}(\cos\theta) = (\sin\theta)^m\frac{\mathrm{d}^mP_n(\cos\theta)}{\mathrm{d}(\cos\theta)^m}\\$

勒让德函数的正交性

$\int_{-1}^1P_n(x)P_m(x)dx = \frac{2}{2n+1}\delta_{nm}\\$

勒让德函数的仿真

matlab里面有直接计算连带勒让德函数的函数

legendre(n, x)

其中 $n$ 为阶数，算出来的结果为 $n+1$ 行的结果，第1行就是连带勒让德函数 $m=0$ 的情况，即勒让德函数。

勒让德函数的递推公式

$(n+1)P_{n+1}(x) - (2n+1)xP_n(x)+nP_{n-1}(x) = 0\\$

$(x^2-1)P^\prime_n(x) = nxP_n(x)-nP_{n-1}(x)\\$

$P^{\prime}_{n+1}(x)-P^{\prime}_{n-1}(x)=2(n+1)P_n(x)\\$

$P_n(x)=P^{\prime}_{n+1}(x)-2xP^{\prime}_n(x)+P^\prime_{n-1}(x)\\$

$xP^{\prime}_{n}(x) -P^{\prime}_{n-1}(x) = nP_n(x)\\$

$P^{\prime}_{n+1}(x) = xP^\prime_n(x)+(n+1)P_n(x)\\$

特别地，有：

$P_0(x)= 1\\P_1(x) = x\\P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2-1)\\P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3-3x)\\$

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