单参数贝叶斯分析实例

以一个泊松分布的贝叶斯模型进行演示说明，但是该模型涉及到层次模型的知识。调查美国各个地方的癌症死亡率。追踪10年，癌症死亡率的计算遵循下面的公式， θ j = y j 10 n j \theta_j=\frac{y_j}{10n_j} θj​=10nj​yj​​ 这里统计的单位是"county"，有点类似于县城。其中， θ j \theta_j θj​是第 j j j个county癌症死亡率， y j y_j yj​是癌症死亡人数， n j n_j nj​是county的样本数目。全国的平均值是 5 × 1 0 − 5 5×10^{-5} 5×10−5。

经过统计，将各个癌症发生比例显著高于国家基本水平的地区标黑，结果如下， 结果显示，被称为"Great Plains"的美国中西部地区癌症死亡率高的，所以很多人会认为这与落后的基础设施和医疗建设相关。但是如果再看一下癌症低发的地区，会有新的发现， 中西部地区同样是癌症低死亡率的地方，这与上面的图片得到的结论是相互矛盾的。

造成这一问题的原因归根结底是因为"sample size"所导致，因为这项研究是以"county"为单位的，翻译过来就是小区域，对于不同地区的调查的样本量 n j n_j nj​是不同的，这对结果造成了很大的影响。

以小的county为例，若 n j = 1000 n_j=1000 nj​=1000，

而对于一个大的county而言，小的数值的变化对其影响不大。直接使用经验公式求取癌症死亡率的方法是存在极大偏差的，需要对现有的统计方法进行改进。

因为直接使用最开始的统计公式对于不同样本量的county是不公平的，即先验概率无法表达真实的数据，所以建立更加规范的数据模型。

美国统计的国家的整体癌症发生可以看做是一个泊松分布， y j ∼ P o i s s o n ( 10 n j θ j ) y_j\sim Poisson(10n_j\theta_j) yj​∼Poisson(10nj​θj​) 其中 θ j \theta_j θj​是未知的，泊松分布的共轭先验分布是Gamma分布(具体参考)，故将 θ j \theta_j θj​的先验分布设定为一个Gamma分布，用一种比较粗暴的方式确定Gamma分布的参数， 画出每个county每10000人中患癌人数的频数分布图，得到 α = 20 \alpha=20 α=20和 β = 430000 \beta=430000 β=430000。虽然这种方式看似有效，但是更好的方法会在以后层次模型的笔记中说明。

经过推导后，死亡率 θ j \theta_j θj​的后验概率服从 θ j ∣ y j ∼ G a m m a ( 20 + y j , 430000 + 10 n j ) \theta_j|y_j\sim Gamma(20+y_j,430000+10n_j) θj​∣yj​∼Gamma(20+yj​,430000+10nj​) 这样做的好处依旧可以以小的county进行解读， 若 n j = 1000 n_j=1000 nj​=1000，

在先验分布的情况下，对于一个小的county而言，小的数值的变化对其影响被显著消除。

使用贝叶斯分析前和后的效果，使用图形化的方式展示，