函数连续的概念与性质（包括强制函数）

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函数连续的概念与性质（包括强制函数）

2024-07-14 06:23| 来源: 网络整理| 查看: 265

令 $f: X \mapsto R^{m}$ 为一个函数，其中 $X$ 是 $R^n$ 的一个子集， $x$ 是 $X$ 中的一个向量。如果存在一个向量 $y\in R^m$ ，使得对于满足 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_{k}=x$ 的每一个序列 $\left\{x_{k}\right\} \subset X$ ，都有 $\left\{f(x_{k})\right\}$ 收敛到 $y$ ，那么记 $\lim _{z \rightarrow x} f(z)=y$ 。如果存在一个向量 $y \in R^{m}$ ，使得对于满足 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_{k}=x$ 且 $x_k\leqslant x,\forall k$ (对应地， $x_k \geqslant x,\forall k$ )的每一个序列 $\left\{x_{k}\right\} \subset X$ ，都有 $\left\{f(x_{k})\right\}$ 收敛到 $y$ ，那么记 $\lim _{z \uparrow x} f(z)=y$ [对应地， $\lim _{z \downarrow x} f(z)=y$ ]。

连续

对于函数 $f: X \mapsto R^{m}$ ，如果 $\lim _{z \rightarrow x} f(z)=f(x)$ 成立，则称函数 $f$ 在向量 $x \in X$ 处连续（continuous）。

对于实值函数 $f: X \mapsto R$ ，用ε-δ语言描述为：

如果 $\forall \varepsilon 0$ ， $\exists \delta 0$ ，当 $x \in dom\ f$ ， $\left | x - x_0 \right | \delta$ 时，有 $f(x_0)-\varepsilon f(x) f(x_0) + \varepsilon$ ，则称函数 $f$ 是连续的。

左/右连续

对于函数 $f: X \mapsto R^{m}$ ，如果 $\lim _{z \downarrow x} f(z)=f(x)$ [对应地， $\lim _{z \uparrow x} f(z)=f(x)$ ]成立，则称函数 $f$ 在向量 $x \in X$ 处右连续（right-continuous）[对应地，左连续（left-continuous）]。

对于实值函数 $f: X \mapsto R$ ，用ε-δ语言描述为：

如果 $\forall \varepsilon 0$ ， $\exists \delta 0$ ，当 $x \in dom\ f$ ， $0 x - x_0 \delta$ [对应地， $0 x_0 - x \delta$ ]时，有 $f(x_0)-\varepsilon f(x) f(x_0) + \varepsilon$ ，则称函数 $f$ 是右连续[对应地，左连续]的。

上/下半连续

对于实值函数 $f: X \mapsto R$ ，如果对于每一个收敛到 $x$ 的序列 $\left\{x_{k}\right\} \subset X$ ，都有 $f(x) \geqslant \lim \sup _{k \rightarrow \infty} f(x_{k})$ [对应地， $f(x) \leqslant \lim \inf _{k \rightarrow \infty} f(x_{k})$ ]，则称函数 $f$ 在向量 $x \in X$ 处上半连续（upper-continuous）[对应地，下半连续（lower-continuous）]。

用ε-δ语言描述为：

如果 $\forall \varepsilon 0$ ， $\exists \delta 0$ ，当 $x \in dom\ f$ ， $\left | x - x_0 \right | \delta$ 时，有 $f(x) f(x_0) + \varepsilon$ [对应地， $f(x)f(x_0)-\varepsilon$ ]，则称函数 $f$ 是上半连续[对应地，下半连续]的。

强制函数

函数 $f: X \mapsto R$ ，如果对于每一个满足 $\left \| x_k \right \|\rightarrow \infty$ 的序列 $\left\{x_{k}\right\} \subset X$ ，都有 $\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=\infty$ ，则称函数 $f$ 是强制的。