数学分析(十六)

根据点集中所属点的特征,我们再来定义一些重要的平面点集.

开集一一若平面点集所属的每一点都是 E E E 的内点 (即 int E = E E=E E=E ), 则称 E E E为开集. 闭集一一若平面点集 E E E 的所有聚点都属于 E E E, 则称 E E E 为闭集. 若点集 E E E没有聚点,这时也称 E E E 为闭集.

在前面列举的平面点集中, (2) 所表示的点集 C C C 是开集, (3) 所表示的点集 S S S 是闭集, (4) 所表示的点集 D D D 既非开集, 又非闭集,而且 (1)所表示的点集 R 2 \mathbf{R}^{2} R2 既是开集又是闭集. 此外,还约定空集 ∅ \varnothing ∅既是开集又是闭集. 可以证明,在一切平面点集中, 只有 R 2 \mathbf{R}^{2} R2与 ∅ \varnothing ∅ 是既开又闭的点集.

开域一一若非空开集 E E E 具有连通性, 即 E E E中任意两点之间都可用一条完全含于 E E E的有限折线(由有限条直线段连接而成的折线) 相连接, 则称 E E E 为开域(即开域就是非空连通开集). 闭域一一开域连同其边界所成的点集称为闭域. 区域一一开域、闭域,或者开域连同其一部分界点所成的点集,统称为区域.

在上述诸例中, (2) 是开域, (3) 是闭域, (1) 既是开域又是闭域.

又如

E = { ( x , y ) ∣ x y > 0 } ( 5 ) E=\{(x, y) \mid x y>0\} \quad\quad(5) E={(x,y)∣xy>0}(5)

虽然是开集,但因 I、III象限之间不具有连通性,所以它不是开域,也不是区域.

有界点集一对于平面点集 E E E, 若存在某一正数 r r r, 使得

E ⊂ U ( O ; r ) , E \subset U(O ; r), E⊂U(O;r),

其中 O O O 是坐标原点 (也可以是其他固定点), 则称 E E E 是有界点集. 否则就是无界点集.上述 (2)、(3)、(4) 都是有界点集, (1)、(5) 则是无界点集.

E E E