测度论笔记 02

　　本文章应该没啥详细的讲解，主要就是记一下自己的理解，如有错误欢迎评论指正

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　　对于集合 ，定义它的幂集 ，即所有子集的集合，幂集也会记为 ．

　　对于非空集合 ，若  满足：

；(非空)

，有 ．(对于任意交运算封闭)

则称  为  的一个 π-system．

　　对于非空集合 ，若  满足：

；(包含全集)

，有 ；(对真差封闭)

对于非降的集合序列 ，有：．(对于可列个非降的并封闭)

则称  为  的一个 λ-system．

　　λ-system对(可列个非降的)交也封闭：设 ，则交可以表为： ，证明的话画个图证明最省事，要严格证明挺麻烦的，虽然看似这样定义的交对任意俩元素都成立，但因为λ-system对并有条件，所以也不是任意俩交都有定义；λ-system对补也是封闭的，可以定义 ．

　　若在λ-system中取一组非增的集合序列 ，则可以定义它们的极限 ，（用德·摩根律即可证明，）故对于λ-system中的任意单调序列均有极限 ．

　　对于非空集合 ，若  满足：

；

．(对补集封闭)

 是一族集合，有：．(对于可列个并封闭)

则称  为  的一个σ代数，称  为可测空间，显然幂集是一个σ代数．

　　σ代数对可列个交也是封闭的，因为 ，σ代数对差也是封闭的，因为 ，，所以σ代数一定是λ-system，σ代数也一定是π-system．

　　一个既是π-system又是λ-system的  一定是σ代数．

证明：因为  是λ-system，其显然满足：1.；2.， ，且任意单调序列都会有极限 ，又因为  是π-system，所以其对于有限个并也是封闭的 ，现在，取可列个 ，则他们的并可以写成[有限个并的(可列个并)]：，而又其中"有限个并"整体是单调非降的，则对这个整体的"可列个并"可以看作是单调序列的极限，而又因为  中的单调序列一定有极限，故，即其对可列并封闭，证毕．

　　对于任意非空集合族 ，一定存在唯一的σ代数满足  满足：

；

对任意满足  的σ代数  都有 ．（其它满足１的σ代数都一定包含 ，也就是  是最小的）

称  为由  给出(生成)的最小σ代数，记为 ．

存在性证明：我们可以取幂集 ，显然幂集是σ代数，故一定存在至少一个包含  的σ代数，记幂集中包含  的部分为 ，取 ，则  也是σ代数，且 ，如此定义的  就满足１和２；唯一性证明：假设唯一性不成立，即存在 ，且 ，分别满足条件１和２，此时令 ，则  是σ代数且 ，，故与２矛盾（找到了个更小的）．

　　对于拓扑空间 ，定义的Borel集为：

．

即由开集族所生成的最小σ代数，测度论中通常会使用定义在实数域上的Borel集．