希尔伯特(Hilbert)空间和巴拿赫(Banach)空间

(2012-03-29 11:42:53)希尔伯特空间

在数学领域，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公式化数学和量子力学的关键性概念之一。

　　希尔伯特空间以大卫·希尔伯特的名字命名，他在对积分方程的研究中研究了希尔伯特空间。冯·诺伊曼在其1929年出版的关于无界厄米算子的著作中，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。冯·诺伊曼可能是最早清楚地认识到希尔伯特空间的重要性的数学家之一，他在进行对量子力学的基础性和创造性地研究的时候认识到了这一点。此项研究由冯·诺伊曼与希尔伯特和朗道展开，随后由尤金·维格纳（Template:Lang）继续深入。“希尔伯特空间”这个名字迅速被其他科学家所接受，例如在外尔1931年出版的著作《群与量子力学的理论》（Template:Lang）中就使用这一名词。

　　一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中，一个物理系统可以被一个复希尔伯特空间所表示，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。详细的资料可以参考量子力学的数学描述相关的内容。量子力学中由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为装备希尔伯特空间（riggedHilbert space）。

　　在一个复向量空间H上的给定的内积< .,. > 可以按照如下的方式导出一个范数（norm）：　　此空间称为是一个希尔伯特空间，如果其对于这个范数来说是完备的。这里的完备性是指，任何一个柯西列都收敛到此空间中的某个元素，即它们与某个元素的范数差的极限为0。任何一个希尔伯特空间都是巴拿赫空间，但是反之未必。　　任何有限维内积空间（如欧几里德空间及其上的点积）都是希尔伯特空间。但从实际应用角度来看，无穷维的希尔伯特空间更有价值，例如　　*酉群（unitarygroup）的表示论。　　*平方可积的随机过程理论。　　*偏微分方程的希尔伯特空间理论，特别是狄利克雷问题。　　*函数的谱分析及小波理论。　　*量子力学的数学描述。　　内积可以帮助人们从“几何的”观点来研究希尔伯特空间，并使用有限维空间中的几何语言来描述希尔伯特空间。在所有的无穷维拓扑向量空间中，希尔伯特空间性质最好，也最接近有限维空间的情形。　　傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基函数的和（可能是无穷和）。这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基中的元素或其倍数的和。

百科名片

巴拿赫空间理论（Banachspace）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。

　　巴拿赫空间理论（Banachspace）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常 用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。

　　巴拿赫空间（Banachspace）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。从魏尔斯特拉斯﹐K.(T.W.)以来﹐人们久已十分关心闭区间[a﹐b]上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在19世纪末﹐G.阿斯科利就得到[a﹐b]上一族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。 1909年里斯﹐F.(F.)给出[0﹐1]上连续线性泛函的表达式﹐这是分析学历史上的重大事件。还有一个极重要的空间﹐那就是由所有在[0﹐1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间(1;p;∞)。在1910～1917年﹐人们研究它的种种初等性质﹔其上连续线性泛函的表示﹐则照亮了通往对偶理论的道路。人们还把弗雷德霍姆积分方程理论推广到这种空间﹐并且引进全连续算子的概念。当然还该想到希尔伯特空间。正是基于这些具体的﹑生动的素材﹐巴拿赫﹐S.与维纳﹐N.相互独立地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念﹐并且在不到10年的时间内便发展成一部本身相当完美而又有着多方面应用的理论。

　　完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。是用波兰数学家巴拿赫(StefanBanach ）的名字命名的。 　　巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建立了其上的线性算子理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要价值。

　　巴拿赫空间是一种赋有长度的线性空间，大多数都是无穷空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。同时也是泛函分析研究的基本对象之一。里斯。F在1909年就给出了『0，1』上连续线性泛函的表达式。所以，连续线性泛函的表示是巴拿赫空间的一种初等性质。

　　一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。从K.（T.W.）魏尔斯特拉斯以来,人们久已十分关心闭区间【α,b】上的连续函数以及它们的一致收敛性。甚至在19世纪末，G.阿斯科利就得到【α，b】上一族连续函数之列紧性的判断准则，后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。1909年F.（F.）里斯给出C【0,1】上连续线性泛函的表达式，这是分析学历史上的重大事件。还有一个极重要的空间，那就是由所有在【0,1】上p次可勒贝格求和的函数构成的Lp空间(1