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§7.8 空间直线及其方程 一 空间直线的一般方程 空间直线可看成两平面和的交线。事实上,若两个相交的平面和分别为 和 那么空间直线上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程,即应满足方程组 (1) 反过来,如果点不在直线上,那么它不可能同时在平面和上,所以它的坐标不满足方程组(1)。 因此,可用方程组(1)表示,方程组(1)叫做空间直线的一般方程。 一般说来,过空间一直线的平面有无限多个,所以只要在无限多个平面中任选其中的两个,将它们的方程联立起来,就得到了空间直线的方程。 二 空间直线的对称式方程和参数方程 若一非零向量平行于一条已知直线,这个向量就称之该直线的方向向量。显然,直线上的任何向量均平行于直线的方向向量。 我们知道,过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线,因此,当直线上的一点和它的一个方向向量给定之后,空间直线的位置就完全确定下来了。 下面,我们来建立这种直线的方程。 设是直线上的任一点,则 ,而 故 (2) 反过来,如果点不在直线上,则与不平行,从而(2)式不成立。 因此,方程组(2)就是直线的方程。称此方程为直线的对称式方程。 直线的任一方向向量的坐标叫做该直线的一组方向数,而它的方向余弦叫做该直线的方向余弦。 如设 则 (3) 方程组(3)叫做直线的参数方程。 【例1】用对称式方程及其参数方程表示直线 解:先找出这直线上的一点,如:取 代入方程组得 解此二元一次方程组得 于是,得到直线上的一点 。 再找该直线的一个方向向量,由于两平面的交线与两平面的法线向量 都垂直,可取 因此,所给直线的对称式方程为 直线的参数方程为 三 两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角。 设有直线 和直线 的方向向量 的方向向量 两直线的夹角的余弦便是两方向向量夹角的余弦。 (4) 由(4)式有 1、 2、 四 直线与平面的夹角 直线和它在平面的投影直线所做成的两个邻角中的任何一个,称作直线与平面的夹角,并记作。 显然,这两个角互为补角,因此,我们不妨规定: 下面导出的计算公式。 设直线的方程为 平面的方程为 直线的方向向量与平面的法线向量的夹角为 或 。 而 故 (5) 由(5)式有: 1、 2、 五 平面束及其应用 平面束的概念 设直线由方程组 所确定,其中系数与不成比例,亦即由(1)、(2)所表示的两平面不平行。 建立三元一次方程 其中为任意常数。 因与不成比例,对于任何一个值,方程(3) 的系数不全为零,从而(3)表示一个平面。 若一点在直线上,则点的坐标必同时满足方程(1)和(2),因此,也必满足(3),则方程(3)表示过直线的一个平面。而且对于不同的值,方程(3)表示过直线的不同平面。 反过来,通过直线的任何平面(除平面(2)外),都包含在方程(3)所表示的一族平面内。 通过定直线的所有平面的全体称为平面束,而方程(3)称为过直线的平面束方程。 【例2】求直线: 在平面 上的投影直线的方程。 【解一】直线在平面上的投影直线,也应在过且垂直于平面的平面上,而过直线的平面束方程为 即 其中为任意常数。 使它与平面相垂直条件为 , 故,过直线且垂直于平面的平面为 从而,投影直线的方程为 【解二】先给出直线的对称式方程 令,解方程 有 得直线上的一点 直线的方向向量为 而平面的法线向量为 过直线且垂直于平面的方程可设为 这里系数应适合方程 解之得 代入所设投影平面方程有 约去非零因子, 得 投影直线的方程为 |
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