【Unity】Unity 几何知识、弧度、三角函数、向量运算、点乘、叉乘

角的度量方式分为角度（Degree）和弧度（Radian）两种。角度就是将一个圆形切成360份，每一份就是1度角。弧度是当弧长等于圆的半径时即为1弧度。

如图所示：

常用换算：   π = 180 度 \ \pi = 180度  π=180度   1 弧 度 = 180 度 / π \ 1弧度 = 180度 / \pi  1弧度=180度/π   1 角 度 = π / 180 度 \ 1角度 = \pi / 180度  1角度=π/180度

角度转弧度：

弧度转角度：

在直角三角形中（下图为例），如果   a 、 b 、 c 、 x \ a、b、c、x  a、b、c、x中的两个变量已知则能计算出另外两个变量的值。

正弦：   s i n ( x ) = a / c \ sin(x) = a / c  sin(x)=a/c （对比斜） 余弦：   c o s ( x ) = b / c \ cos(x) = b / c  cos(x)=b/c （临比斜） 正切：   t a n ( x ) = a / b \ tan(x) = a / b  tan(x)=a/b （对比临） 余切：   c o t ( x ) = b / a \ cot(x) = b / a  cot(x)=b/a 正割：   s e c ( x ) = c / b \ sec(x) = c / b  sec(x)=c/b 余割：   c s c ( x ) = c / a \ csc(x) = c / a  csc(x)=c/a 反正弦：   a r c s i n ( a / c ) = x \ arcsin(a / c) = x  arcsin(a/c)=x 反余弦：   a r c c o s ( b / c ) = x \ arccos(b / c) = x  arccos(b/c)=x 反正切：   a r c t a n ( a / b ) = x \ arctan(a / b) = x  arctan(a/b)=x

已知一角和一边，求另外两边，用sin、cos、tan。 已知两边，求角，用arcsin、arccos、arctan。

已知一个角和一条边，用   s i n 、 c o s 、 t a n \ sin、cos、tan  sin、cos、tan 。 已知两条边求角度，用   A r c S i n 、 A r c C o s 、 A r c T a n \ ArcSin、ArcCos、ArcTan  ArcSin、ArcCos、ArcTan 。

在代码中调用Mathf.Sin等三角函数方法时传入的参数并不是角度，而是弧度。

比如如果我们想要获取sin30度的值不能这样写：Mathf.Sin(30)。这样是错的。 正确的写法应该是Mathf.Sin(30 * Mathf.Deg2Rad)，将角度转为弧度再传参，得到的结果就是0.5了。

下图为官方API的描述。

要求输入的角度是以弧度为单位的，所以要用这些方法时经常要用到角度和弧度的转换。

向量是一个数字列表，表示各个维度上的有向位移。它是一个有大小有方向的物理量。大小就是方向的模长，方向描述了空间中向量的指向。向量可以用来表示物体的位置和方向。

向量的大小：也就是向量的长度（一般称作为 模），向量a的模记为   ∣ a ⃗ ∣ \ | \vec a |  ∣a ∣ ，若   a ⃗ = ( x , y , z ) \ \vec a = (x, y, z)  a =(x,y,z) 则   ∣ a ⃗ ∣ = x 2 + y 2 + z 2 \ | \vec a | = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2}  ∣a ∣=x2+y2+z2 ​ 。代码中使用myVector.magnitude来获取向量的大小。

单位向量：即模为1的向量，在Unity中单位向量也就代表了向量的方向。可以记作 a ^ \widehat{a} a 。一个向量的单位向量，可以通过除以它模得到，即 a ^ = a ⃗ ∣ a ⃗ ∣ \widehat{a} = \frac {\vec a} {| \vec a |} a =∣a ∣a ​ 。代码中使用myVector.normalized来获取向量的单位向量，也就是向量的方向。

零向量：即模为0的向量，零向量的方向是任意的。

相反向量：长度相等方向相反的向量，   a ⃗ \ \vec a  a 的相反向量为   − a ⃗ \ -\vec a  −a 。

平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，记作   a ⃗ / / b ⃗ \ \vec a // \vec b  a //b 。

向量的加减就是向量对应分量的加减，类似于物理学中力的正交分解。

向量相减等于各分量相减。

  [ x 1 , y 1 , z 1 ] − [ x 2 , y 2 , z 2 ] = [ x 1 − x 2 , y 1 − y 2 , z 1 − z 2 ] \ [x1,y1,z1] - [x2,y2,z2] = [x1-x2 , y1-y2 , z1-z2]  [x1,y1,z1]−[x2,y2,z2]=[x1−x2,y1−y2,z1−z2]

几何意义：向量a与向量b相减，结果理解为以b的终点为起点，以a的终点为终点的向量。方向由b指向a。 注意：我们可以把向量相减理解为a、b终点的连接，但实际上该向量准确起始位置应该是坐标原点。

实际应用：计算两点之间的距离和相对方向。

向量相加等于各分量相加。

  [ x 1 , y 1 , z 1 ] + [ x 2 , y 2 , z 2 ] = [ x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ] \ [x1,y1,z1] + [x2,y2,z2] = [x1+x2 , y1+y2 , z1+z2]  [x1,y1,z1]+[x2,y2,z2]=[x1+x2,y1+y2,z1+z2]

几何意义：如下图，假设空间中有两个向量a和b，a与a’平行且长度相等，b与b’平行且长度相等。a+b就相当于a,b,a’,b’所围成的平行四边形的对角线。 也可以这么说，由向量a的起点出发，沿着a的方向走a的长度，然后沿着b的方向走b的长度，达到的点相当于从a的起点沿着a+b的方向走a+b的长度。

实际应用：物体的移动。

乘法：该向量的各分量与标量相乘   k [ x , y , z ] = [ x k , y k , z k ] \ k[x, y, z] = [xk, yk, zk]  k[x,y,z]=[xk,yk,zk] 。 除法：该向量的各分量与标量相除   [ x , y , z ] / k = [ x / k , y / k , z / k ] \ [x, y, z]/k = [x/k , y/k , z/k]  [x,y,z]/k=[x/k,y/k,z/k] 。 几何意义：缩放向量长度。 实际应用：加速、减速、放大、缩小。

点乘又称点积或内积。表示为各分量的乘积和。

  [ x 1 , y 1 , z 1 ] ⋅ [ x 2 , y 2 , z 2 ] = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 \ [x1,y1,z1] \cdot [x2,y2,z2] = x1x2+y1y2+z1z2  [x1,y1,z1]⋅[x2,y2,z2]=x1x2+y1y2+z1z2

注意结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar），可以是负数。

几何意义：   a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ⁡ ( a , b ) \ a \cdot b = |a||b|\cos(a, b)  a⋅b=∣a∣∣b∣cos(a,b) 当a、b的模为1时，ab的点乘值为∠ab的cos值，再通过反余弦就可以获得角度。

第一步计算点乘值，第二步计算夹角。

实际应用：计算两向量的夹角。

点乘常用结果：对于标准化后的向量，方向相同，则点乘为1；方向相反，则点乘为-1；互相垂直，则点乘为0。

总结：点乘可以用于计算向量夹角，但只能用于计算内夹角，也就是小于180°的夹角。若想超过180°，则需要与叉乘结合。点乘的结果为单个数值。

叉乘又称 “叉积” 或 “外积” ，与点乘结果不同，叉乘结果是一个向量，一个垂直于两个向量所组成平面的向量。模长为两向量模长乘积再乘夹角的正弦值。

公式：   [ x 1 , y 1 , z 1 ] × [ x 2 , y 2 , z 2 ] = [ y 1 ∗ z 1 − z 1 ∗ y 2 , z 1 ∗ x 2 − x 1 ∗ z 2 , x 1 ∗ y 2 − y 1 ∗ x 2 ] \ [x1,y1,z1] \times [x2,y2,z2] = [y1*z1 - z1*y2 , z1*x2 - x1*z2 , x1*y2 - y1*x2]  [x1,y1,z1]×[x2,y2,z2]=[y1∗z1−z1∗y2,z1∗x2−x1∗z2,x1∗y2−y1∗x2]

代码：Vector3 cross = Vector3.Cross(a.position, b.position); 注意：叉乘不需要加normalized，加不加都不会影响结果。

应用：

当 a 到 b 顺时针，则 a x b 朝上。

当 a 到 b 逆时针，则 a x b 朝下。 也可以这样理解：当a、b顺时针夹角小于180时， a x b 朝上；当a、b顺时针夹角大于180时， a x b 朝下。

代码判断：叉乘结果 y > 0 ，则朝上，则小于180°；叉乘结果 y < 0 ，则朝下，则大于180°；

a、b向量叉乘获得的垂直向量遵循左手规则，以下图为例： 以上图手势为标准，垂直于拇指a和食指b形成的平面的向量result就是a、b叉乘的结果。

叉乘也可以用来计算角度，但只能计算0° ~ 90°。

叉乘常用结果：

点乘结合叉乘，可以计算出360°以内的角。