【数学/竞赛/高考】史上最全数列通项公式求法【阴 间】

本人根据读过的书，整理了以下数列通项公式的求法

【包括一些比较阴间的数列】

一：观察法（直接法）

【有些数列通项公式能直接看出来，此处略】

二：猜想+数学归纳

【写出数列的前几项，猜想出数列通项，并用数学归纳法证明，此处略】

三：公式法

已知Sn与an的关系，利用以下公式求数列通项

注意求出后考虑合并

四：累加法

五：累乘法

六：

对形如   (p≠1)的递推式，有以下两种方法。

①：将n用n-1代，两式相减得

故{an+1 -an}为首项为a2-a1，公比为p的等比数列。

②：待定系数构造等比数列【下文“十八”会说，此处略】

七：

对形如  (p≠1)的递推式，通项求法为

两边同除以得

令bn=a^n\p^n

再用累加法即可。

八：取倒数【基础】

对形如的递推式，其通项求法为

两边取倒数得

令bn=1\an，问题转换为“六”中所述。

九：常系数齐次线性递推数列

对k阶常系数齐次线性递推数列{an}，已知前k项 (j=1,2,…,k)

其特征方程为

①若特征方程有k个不同的根xi,(i=1,2,...,k)，则其通项公式为,

其中Ci为待定常数，由初值条件ai=αi确定。

②若特征方程有k1个重根，k2个重根，……，ks个重根，其中

则其通项公式为

其中Ci为待定常数，由初值条件ai=αi确定。

特别地，对二阶常系数齐次线性递推式

其特征方程为，

，两根为

①α≠β，则

②α＝β，则

其中C1，C2由初始值a1，a2确定。

十：取对数

①对形如的递推式，其通项求法为

两边取对数，

换元后转换成“六”

【如果p=1，则取底数m为10或e，若p≠1，则取底数m为p】

②对形如

同上，两边取对数后换元转换成二阶常系数齐次线性递推式。

十一：不动点法

不动点法主要用于解决分式递推式。如对于形如

的递推式，其特征方程，

解出的两根α，β为该数列的不动点

①α≠β，则，

为等比数列，其中公比由α，β和C,D确定。

解题步骤：（1）由特征方程求出不动点α，β。（2）列出an-α，an-β并相除，带入递推式求出公比，从而解出an

②α＝β，则，

为等差数列

【解题步骤类似】

不仅仅是以上类型，不动点法主要处理非线性的递推式

例如

十二：

形如，的递推式，其通项求法为

构造函数，令

则递推式化为[两边同乘h(n+1)]，

令得

接着使用累加法就能求出xn：

因此求得an：

其中h(n)可用累乘法求得：

有了“十二”的方法，我这里介绍取倒数的应用

十三：取倒数

形如的递推式

可以两边取倒数后换元1\an，就递推式就可“十二”的类型。

十四：配方法

对形如的递推公式，其通项求法为

配方得即

换元后两边取对数【或者迭代】即可。

十五：定理【一个不动点法的特例】

形如的递推式，

若其特征方程，有两根α,β，则有

接着两边取对数【或者迭代】换元后就行了。

十六：

形如的递推式，其通项求法为

将an乘过去，

将n用n+1代得：

即

因式分解得

故

这样数列递推式就化为二阶常系数齐次线性递推式。【后略】

十七：

如果数列递推公式中有出现的乘积形式，则可以考虑两边同时除以出现最多的项，或者除以出现最多的项乘某项

比如中an和an+2出现最多，通常考虑两边同除以an×an+2

下面举例说明

十八：待定系数法

待定系数法主要用于三种类型的递推式

①形如的递推式

待定常数k，使得

对照系数就能解出k

之后过程略。

②形如的递推式

待定常数x,y使得

之后过程略【还是换元构造等比数列】

③形如的递推式

待定常数x,y,z使得

之后过程略。

接下来再介绍几种含根号的处理方法

十九：根号中为一次——换元根式

例如

令，代入并化简得

故

之后过程略。

二十：根号中为2次——平方去根号，运用韦达定理

例如

将5an移到左边，两边平方并化简：

下标n用n+1代得

故an与an+2为方程，的两根

由韦达定理得

此为二阶线性递推式，之后过程略。

二十一：将下标n用n+1代，将两式进行四则运算

【这种方法在上面已经经常出现，两式通常是作差或商，极少数时候作和，这里只举一个例子】

例如

两边平方得，

将n用n+1代得

两式相加得，

即

分母乘过去，转化成二阶线性递推式【后略】

二十二：三角换元/代换

这种方法主要观察递推式的形式是否符合三角函数【反三角函数】的和差角公式，倍角公式，万能公式等等。比如含√1-an²就考虑换元an=cosθ或sinθ，含√1+an²就考虑换元an=tanθ，含√an²-1就考虑换元an=secθ等等

例如【这里只举一个例子】

显然，a0=sin(π/2²),

用一次倍角公式，得到

由归纳法可证

二十三：含取整符号的递推式的化简

利用高斯函数的基本的性质

例如

由高斯函数基本性质得【注意右边那个等号这里取不到】

即

两边同乘4-√11并化简得

故

代入递推式就能化为二阶线性递推式，后略。

最后介绍一个可以求通项的递推数列

二十四：

对数列，其通项求法如下

①若|a1|≤2，令a1=2cosα

由归纳法可证明【用倍角公式直接套】

②当|a1|＞2时，令a1=t+1\t

由归纳法可证明

当然对于第一种情况|a1|≤2，还有一种换元方法

别问我为什么不写了，因为专栏图片限制写不下了！

以上就是全部内容

【公式全是我手打的，打了大半天（累死）】因为图片插不进了所以分割线都删了，过程尽量精简了，请见谅！

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