行列式的几种运算方法

2024-07-16 03:10| 来源: 网络整理| 查看: 265

行列式的运算方法多种多样，没有绝对的方法，解题中都是需要灵活运用的，因此题目中的方法只能说是一种思路，除了传统的化三角形外的运算方式来减少运算量的方法。

一.当行列式中有较多的0时

1.可以尝试分块求解

$\begin{vmatrix} x_{1} & & y_{1} & \\ & x_{2} & & y_{2} \\ y_{3} & &x_{3} & \\ & y_{4} & & x_{4} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & & \\ y_{3} & x_{3} & & \\ & & x_{2} &y_{2} \\ & & y_{4} & x_{4} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x_{1} &y_{1} \\ y_{3} & x_{3} \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} x_{2} &y_{2} \\ y_{4} & x_{4} \end{vmatrix}$

至于为什么可以这样分块教材中有相应的解释（我还没看我不懂(`へ´*)ノ）

2.可以尝试直接按行展开

$\begin{vmatrix} 0 &a &b &0 \\ a &0 &0 &b \\ 0&c &d &0 \\ c &0 &0 &d \end{vmatrix}=a\begin{vmatrix} a &0 &b \\ 0&d &0 \\ c & 0 &d \end{vmatrix}+b\begin{vmatrix} a &0 &b \\ 0 &c &0 \\ c &0 &d \end{vmatrix}=......$

我们可以多次将其按行展开，此时就可以达到化繁为简的效果了

二.行或列的和相等时

可以尝试将后面几项全部加到第一项求解

$\begin{vmatrix} x+1 &-1 &1 &-1 \\ 1&x-1 &1 & -1\\ 1& -1&x+1 &-1 \\ 1&-1 &1 &x-1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x &-1 &1 &-1 \\ x&x-1 &1 & -1\\ x& -1&x+1 &-1 \\ x&-1 &1 &x-1 \end{vmatrix}=x\begin{vmatrix} 1 &-1 &1 &-1 \\ 1&x-1 &1 & -1\\ 1& -1&x+1 &-1 \\ 1&-1 &1 &x-1 \end{vmatrix}=x\begin{vmatrix} 1 & & & \\ 1&x & & \\ 1& &x & \\ 1& & &x \end{vmatrix}=x^{4}$

当你做题时发现行或列的和相等时，将它们全部加到第一项往往会有不错的效果，比如这题

每一行的都是x，将x提取出来后答案就呼之欲出了

三.爪型行列式的计算

可以尝试将某一行或列除了第一个元素全部消掉(它真的很像一个爪子）

$\begin{vmatrix} a_{0} &b_{1} & b_{2} & ... &b_{n} \\ c_{1}& a_{1}& & & ...\\ c_{2}& &a_{2} & & \\ ...& & &... & \\ c_{n}& ... & & & a_{n} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{0}-\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i}c_{i}}{a_{i}}& b_{1} &b_{2} &... &b_{n} \\ 0 &a_{1} & & & \\ 0 & &a_{2} & & \\ ... & & & ... & \\ 0& & & &a_{n} \end{vmatrix} =a_{1}a_{2}...a_{n}(a_{0}-\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i}c_{i}}{a_{i}})$

这里我选择将第一列中c1,c2...消掉，同样你想消去行也是可以的，将第一列消去后就变成了下三角，不用我说一眼就看出来了

四.行列式中每个元素都是两项之和

可以找其中成比例的一项并想办法把另一项消去(不同的题目有不同的消法)

①当n>=3时

$\begin{vmatrix}a_{1}+b_{1}&a_{1}+b_{2} &a_{1}+b_{3}& ...&a_{1}+b_{n} \\ a_{2}+b_{1}& a_{2}+b_{2}&a_{2}+b_{3}& ...&a_{1}+b_{n} \\a_{3}+b_{1} & a_{3}+b_{2}& a_{3}+b_{3}& ...&a_{1}+b_{n}\\... &... & ...& ...& ...\\ a_{n}+b_{1}& a_{n}+b_{2}&a_{n}+b_{3} & ...&a_{n}+b_{n} \end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}b_{1}-b_{2}&a_{1}+b_{2} &a_{1}+b_{3}& ...&a_{1}+b_{n} \\b_{1}-b_{2}& a_{2}+b_{2}&a_{2}+b_{3}& ...&a_{1}+b_{n} \\b_{1}-b_{2}& a_{3}+b_{2}& a_{3}+b_{3}& ...&a_{1}+b_{n}\\... &... & ...& ...& ...\\b_{1}-b_{2}& a_{n}+b_{2}&a_{n}+b_{3} & ...&a_{n}+b_{n} \end{vmatrix}$

$=(b_{1}-b_{2})\begin{vmatrix}1&a_{1}+b_{2} &a_{1}+b_{3}& ...&a_{1}+b_{n} \\1& a_{2}+b_{2}&a_{2}+b_{3}& ...&a_{1}+b_{n} \\1& a_{3}+b_{2}& a_{3}+b_{3}& ...&a_{1}+b_{n}\\... &... & ...& ...& ...\\1& a_{n}+b_{2}&a_{n}+b_{3} & ...&a_{n}+b_{n} \end{vmatrix}=$ $(b_{1}-b_{2})\begin{vmatrix} 1 & a_{1} & a_{1} &... & a_{1} \\ 1& a_{2} & a_{2} &... & a_{2} \\ 1& a_{3} & a_{3} &... & a_{3} \\ ...&... &... &... &... \\ 1& a_{n} & a_{n} &... & a_{n} \end{vmatrix}=0$

②当n=2时

$\begin{vmatrix} a_{1}+b_{1} &a_{1}+b_{2} \\ a_{2}+b_{1} &a_{2}+b_{2} \end{vmatrix}=(a_{1}+b_{1})(a_{2}+b_{2})-(a_{1}+b_{2})(a_{2}+b_{1})=......$

当我们把第一列减去第二列后就可以发现b1-b2可以提出来，然后我们就可以通过全为1的一列将后面的b全部消去了，下面怎么做就不用我多说了吧！（这个公式真的很烦，眼睛都花了）

注意：记得分类讨论！！！

五.行列式结构具有重复性时

遇到某一部分在行列式中重复出现的时候，我们可以用递推法来求解（此处是2n阶行列式）

$\begin{vmatrix} a & 0& 0& ...& 0 & 0&b \\ 0& a & 0 &... &0 & b &0 \\ 0& 0& a & ... & b&0 &0 \\ ...&... & ...& & ... & ... &... \\ 0& 0&b & ...& a &0 &0 \\ 0 & b &0 &... &0 & a &0 \\ b&0 &0 & ...&0 &0 & a \end{vmatrix}=a\begin{vmatrix} a& 0 &... & 0 &b &0 \\ 0&a &... &b & 0 & 0\\ ... &... & &... &... &... \\ 0&b &... & a& 0&0 \\ b& 0 &... &0 &a &0 \\ 0&0 & ... &0 &0 &a \end{vmatrix}+b(-1)^{2n+1}\begin{vmatrix} 0 &a &0 &... &0 &b \\ 0&0 & a &... &b &0 \\ ...&...&... &... &... &... \\ 0 &0 &b &...& a & 0\\ 0&b &0 &...&0 &a \\ b &0 &0 &... &0 &0 \end{vmatrix} =a^{2}(-1)^{2(2n-1)}D_{2n-2}+b^{2}(-1)^{4n+1}=(a^{2}-b^{2})^{n}D_{2n-2}=(a^{2}-b^{2})^{n}$

这里我们将其进行一次按行展开后发现再经过一次按行展开后(分别取右下a和左下b按行展开)就能得到和原式结构重复的行列式，只不过它的阶数是2n-2,并且它的正负性是可以判断的。

六.利用范德蒙德行列式求解

当你发现行列式每行或列都为等比数列时可以使用范德蒙德行列式求解

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ a& b & c &d \\ ...&... &... &... \\ a^n& b^n &c^n &d^n \end{vmatrix}=(d-c)(d-b)(d-a)(c-b)(c-a)(b-a)$

我们做题时大部分题目中不会直接的给出行列式，而是要我们“找出”藏在其中的范德蒙德行列式。

七.加边法计算行列式

当你思路受阻难以消去你想消去的值时可以考虑使用加边法

$\begin{vmatrix} x+a_{1} &a_{2} &... &a_{n} \\ a_{1} & x+a_{2} &... &a_{n} \\ ...&... & &... \\ a_{1} &a_{2} &... &x+a_{n} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &a_{1} &a_{2} &... &a_{n} \\ 0 & x+a_{1} &a_{2} &... &a_{n} \\ 0 &a_{1} &x+a_{2} &... &a_{n} \\ 0 &... &... & & ...\\ 0 &a_{1} & a_{2} &... &a_{n} \end{vmatrix}=$

$\begin{vmatrix} 1 &a_{1} &a_{2} &... &a_{n} \\ -1&x & & & \\ -1& &x & & \\ -1& & &... & \\ -1& & & &x \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1+\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}}{x} &a_{1} &a_{2} & ... &a_{n} \\ 0&x & & & \\ 0& &x & & \\ ...& & &... & \\ 0& & & &x \end{vmatrix}=......$

当我们看到这道题目的时候能发现每一个元素中都有a，为了消去a我们可以给行列式加上不影响的两条边，(如上以第一列展开后仍是原式，而第一行的剩余元素可以由我们任意添加)将第一行减到下面每一行后我们就得到了一个爪型的行列式,然后根据爪型行列式的求法就可以得到答案了！

八.数学归纳法计算行列式

个人感觉就是用答案证明题目成立(如证下题)

$\begin{vmatrix} 2cosa&1 &0 &... &0 &0 \\ 1&2cosa &1 &... &0 &0 \\ 0&1 &2cosa &... &0 &0 \\ ...&... &... & &... &... \\ & & & & &\\ 0&0 &0 &... &1 &2cosa \end{vmatrix}=\frac{sin(n+1)a}{sina}$

①当n=1,2时原式显然成立

②当n>=3时对于n则有

$D_{n}=2cosa\cdot D_{n-1}-D_{n-2}$

此时将右式代入可得:

$2cosa\frac{sinna}{sina}-\frac{sin(n-1)a}{sina}=\frac{sin(n-1)a}{sina}$

数学归纳法多用与证明题，个人感觉这种证明方法很奇怪（─.─||），将Dn写成Dn-1和Dn-2的关系式，再将右式代入后比较是否相等，如果相等则可推出每项都符合该式，即可证结论成立！

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