【线性代数基础】从面积看行列式

要想探索线性代数的世界，矩阵和行列式是绕不开的。 国内大部分线性代数教材基本都从行列式开始讲起。在初学者眼中，课本上来就是概念输出，讲行列式和矩阵，将一堆数字按照特定的规则进行代数运算，很容易让人一头雾水。 本文将从线代学习者的角度，对线代中的一些概念进行进一步的阐释。当然，这些理解都是最基础的，随着学习的深入，我们对线性代数这门课的理解也会不断加深，看待问题的角度也会上升一个层次。 请选择性食用。

中学阶段，我们常常在圆锥曲线某些大题中遇到这样的问题，求下图平行四边形（或是三角形）的面积： 求面积这样的题型我们并不陌生，从小学阶段开始，我们就开始学习各种求面积的方法，什么割补法之类的。而到了中学阶段，我们学习了平面直角坐标系，将图形放在坐标系中研究，而现在，我们将从行列式的角度重新探索这道题目。 我们观察发现，这里的平行四边形，是由向量 C B → \overrightarrow{CB} CB 和向量 C A → \overrightarrow{CA} CA 张成的。为了直观表示，我们可以将向量 C A → \overrightarrow{CA} CA 分解，再利用平行线的一些性质进行推导，如下图：

显然 S 平行四边形 A C B D = S 平行四边形 B G E C + S 平行四边形 D G E A S_{平行四边形ACBD}=S_{平行四边形BGEC}+S_{平行四边形DGEA} S平行四边形ACBD​=S平行四边形BGEC​+S平行四边形DGEA​ A ( 2 , 1 ) , B ( − 1 , 3 ) A(2,1),B(-1,3) A(2,1),B(−1,3) S 平行四边形 B G E C = 2 × 3 S_{平行四边形BGEC}=2\times 3 S平行四边形BGEC​=2×3 S 平行四边形 D G E A = 1 × ( − ( − 1 ) ) S_{平行四边形DGEA}=1\times(-(-1)) S平行四边形DGEA​=1×(−(−1)) S 平行四边形 A C B D = 2 × 3 − 1 × ( − 1 ) = 7 S_{平行四边形ACBD}=2\times3-1\times(-1)=7 S平行四边形ACBD​=2×3−1×(−1)=7

我们对上述推导进行推广：对于 O A → = ( a , b ) , O B → = ( c , d ) , S 平行四边形 A O B C = ∣ a d − c b ∣ . \overrightarrow{OA}=(a,b),\overrightarrow{OB}=(c,d),S_{平行四边形AOBC}=|ad-cb|. OA =(a,b),OB =(c,d),S平行四边形AOBC​=∣ad−cb∣. 为什么要加绝对值呢？很显然， a d ad ad的值未必比 c d cd cd大，我们发现，当 O B → \overrightarrow{OB} OB 在 O A → \overrightarrow{OA} OA 的逆时针方向时，这个值为正，在同一方向上，这个值为零，顺时针方向时，这个值为负。 这样的话，我们难免会有一种感觉，面积是有方向的，可正可负可为零，而事实上，也的确有相关的概念——有向面积。 是不是对面积又有了更进一步的认识？ 我们借助有向面积的概念，就可以大胆地把绝对值去掉了，而我们再看这个表达式，有没有一种行列式的味道？这个量写成行列式形式是： D = ∣ a b c d ∣ D= \begin{vmatrix} a &b\\ c & d \end{vmatrix} D= ​ac​bd​ ​ 既然行列式与有向面积难舍难分，我们不妨从有向面积的角度对行列式（二阶）的某些简单性质进行解释： 1、对换行列式的两行（列），行列式变号. 对换行列式的两行，相当于 x , y x,y x,y轴互换，从 O A → \overrightarrow{OA} OA 到 O B → \overrightarrow{OB} OB 的方向发生改变，有向面积变号，对应行列式的值也相应变号，而对换行列式的两列，相对于两向量的地位交换，行列式的值变号。 2、行列式某一列中所有元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式. 此操作相当于将其中一个向量拉长到原来的k倍，面积自然也变成原来的k倍，如下图： 3、行列式中如果有两列元素成比例，则此行列式等于零. 理解起来很简单，如果有两列元素成比例，则显然两向量共线，张成的图形面积必然是零。 4、若行列式某一列的元素都是两数之和，则这个行列式可以拆分成两个行列式之和. 显然： S 平行四边形 E C B F = S 平行四边形 A C B D + S 平行四边形 A E F D S_{平行四边形ECBF}=S_{平行四边形ACBD}+S_{平行四边形AEFD} S平行四边形ECBF​=S平行四边形ACBD​+S平行四边形AEFD​ 同样是使用向量平移，和平行线的性质。 用行列式表示就是： ∣ 3 2 − 1 3 ∣ = ∣ 3 1 + 1 − 1 2 + 1 ∣ = ∣ 3 1 − 1 2 ∣ + ∣ 3 1 − 1 1 ∣ = 11 \begin{vmatrix} 3 & 2\\-1 & 3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & 1+1\\-1 & 2+1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & 1\\-1 & 2 \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 3 & 1\\-1 & 1 \end{vmatrix}=11 ​3−1​23​ ​= ​3−1​1+12+1​ ​= ​3−1​12​ ​+ ​3−1​11​ ​=11 5、把行列式的某一列的各元素乘同一数然后加到另一列对应的元素上去，行列式不变. “乘同一数”，是向量伸缩的过程，“加到另一列对应的元素上去”可以看做是向量的合成。 B E → \overrightarrow{BE} BE 就是 C A → \overrightarrow{CA} CA 数乘之后的结果， C E → \overrightarrow{CE} CE ,是合成后的向量，可以看到，无论k是多少，都有 S 平行四边形 A C B D = S 平行四边形 A C E A ′ S_{平行四边形ACBD}=S_{平行四边形ACEA'} S平行四边形ACBD​=S平行四边形ACEA′​，也就是说，行列式的值不变。

书上告诉我们：

由 n n n阶方阵 A A A的元素所构成的行列式（各元素位置不变），称为方阵 A A A的行列式，记作 d e t A detA detA或 ∣ A ∣ |A| ∣A∣.

方阵与行列式有什么关系？ 之前我们谈过，一个方阵对应着线性变换，而方阵的行列式可以反映这个线性变换的某些特征。 这是矩阵 A = [ 1 2 1 1 ] A= \begin{bmatrix} 1 & 2\\1 & 1 \end{bmatrix} A=[11​21​]对应的线性变换，我们发现，原坐标轴上的单位向量 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)和 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)在线性变换变成了 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1)和 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)，我们再来观察这两组向量张成图形的面积，正好是方阵行列式的值。 ∣ A ∣ = ∣ 1 2 1 1 ∣ = 1 × 1 − 1 × 2 = − 1 |A|=\begin{vmatrix} 1 & 2\\1 & 1 \end{vmatrix}=1\times1-1\times2=-1 ∣A∣= ​11​21​ ​=1×1−1×2=−1 原来的 x x x轴转到 y y y轴是逆时针方向，行列式的值为1，变换后的 x ′ x' x′轴转到 y ′ y' y′轴是顺时针方向，行列式的值为-1，为负数，正好相对应。 当原单位向量张成的图形面积为1时，方阵的行列式可以表示线性变换对空间的缩放比率。

以上的阐述和讨论针对的是二阶行列式和二阶方阵，而三阶行列式和矩阵则可以表示在三维空间中，至于更高阶的行列式和方阵，可能可以描述更高维空间的某些特征，可惜的是，我们的目光是短浅的，无法直接感受高维空间是什么样子，而数学像一把火炬，让这个世界慢慢展现在我们面前。

今天是大年除夕，祝各位探索者们龙年大吉，阖家欢乐！！！

来自微信公众号@中国矿业大学北京的窗花： 没抢到我矿的红包封面