四阶行列式的计算方法及例题

四阶行列式是由4行4列数排成的一个矩阵，其中每个数都有一个固定的位置。计算四阶行列式的方法有多种，下面介绍两种常见的方法。

方法一：按照定义式计算

四阶行列式的定义式为：

$$

\begin

a_ & a_ & a_ & a_ \\

a_ & a_ & a_ & a_ \\

a_ & a_ & a_ & a_ \\

a_ & a_ & a_ & a_

\end

= \sum_ sgn(\sigma) a_a_a_a_

$$

其中，$S_4$表示4个元素的置换群，$sgn(\sigma)$表示$\sigma$的符号，当$\sigma$为偶置换时为1，为奇置换时为-1。

按照定义式计算四阶行列式的具体步骤是：

1. 对于置换$\sigma \in S_4$，计算$a_a_a_a_$的乘积。

2. 对于所有置换的结果求和，即$\sum_ sgn(\sigma) a_a_a_a_$。

方法二：按照行列式的性质计算

四阶行列式还有一些性质可以用来简化计算，比如：

1. 如果行列式中有两行（列）对应元素相同，则该行列式的值为0。

2. 行列式的值与其转置的值相等，即$det(A)=det(A^T)$。

3. 行列式中如果有一行（列）的所有元素都乘以一个数$k$，则行列式的值也乘以$k$，即$det(kA)=k^4 det(A)$。

4. 行列式中如果有两行（列）互换，则行列式的值变号，即$det(A)= -det(A')$，其中$A'$表示$A$中任意两行（列）互换后得到的行列式。

根据这些性质，可以通过简单的变换将四阶行列式化为易于计算的形式。例如，可以通过对第一行或第一列进行展开，将四阶行列式转化为三阶行列式的形式，然后再用其他的方法进行计算。

下面给出一个例题：

$$

\begin

1 & 2 & 3 & 4 \\

2 & 3 & 4 & 5 \\

3 & 4 & 5 & 6 \\

4 & 5 & 6 & 7

\end

$$

按照第一种方法，可以列出所有的置换和它们的符号，然后将它们的结果相加：

$$

\begin

&\begin

1 & 2 & 3 & 4 \\

2 & 3 & 4 & 5 \\

3 & 4 & 5 & 6 \\

4 & 5 & 6 & 7

\end \\

=& (1\times 3\times 5\times 7 + 1\times 4\times 6\times 2 + 1\times 5\times 2\times 4 \\

&- 2\times 4\times 5\times 7 - 2\times 3\times 6\times 4 - 2\times 5\times 1\times 3 \\

&- 3\times 4\times 2\times 7 - 3\times 5\times 1\times 6 - 3\times 6\times 4\times 2 \\

&+ 4\times 5\times 1\times 7 + 4\times 3\times 6\times 5 + 4\times 2\times 3\times 6 \\

&+ 5\times 6\times 1\times 4 + 5\times 4\times 2\times 7 + 5\times 3\times 7\times 6 \\

&- 6\times 4\times 1\times 5 - 6\times 2\times 7\times 3 - 6\times 5\times 3\times 1 \\

&- 7\times 4\times 2\times 3 - 7\times 3\times 5\times 1 - 7\times 6\times 1\times 4) \\

=& 0

\end

$$

按照第二种方法，可以先对第一行进行展开，得到：

$$

\begin

&\begin

1 & 2 & 3 & 4 \\

2 & 3 & 4 & 5 \\

3 & 4 & 5 & 6 \\

4 & 5 & 6 & 7

\end \\

=& 1\times

\begin

3 & 4 & 5 \\

4 & 5 & 6 \\

5 & 6 & 7

\end

- 2\times

\begin

2 & 4 & 5 \\

3 & 5 & 6 \\

4 & 6 & 7

\end

+ 3\times

\begin

2 & 3 & 5 \\

3 & 4 & 6 \\

4 & 5 & 7

\end

- 4\times

\begin

2 & 3 & 4 \\

3 & 4 & 5 \\

4 & 5 & 6

\end

\end

$$

然后对每个三阶行列式进行展开，得到：

$$

\begin

&\begin

3 & 4 & 5 \\

4 & 5 & 6 \\

5 & 6 & 7

\end = 3\times

\begin

5 & 6 \\

6 & 7

\end

- 4\times

\begin

4 & 6 \\

5 & 7

\end

+ 5\times

\begin

4 & 5 \\

5 & 6

\end

= 6 \\

&\begin

2 & 4 & 5 \\

3 & 5 & 6 \\

4 & 6 & 7

\end = 2\times

\begin

5 & 6 \\

6 & 7

\end

- 4\times

\begin

3 & 6 \\

4 & 7

\end

+ 5\times

\begin

3 & 5 \\

4 & 6

\end

= -6 \\

&\begin

2 & 3 & 5 \\

3 & 4 & 6 \\

4 & 5 & 7

\end = 2\times

\begin

4 & 6 \\

5 & 7

\end

- 3\times

\begin

3 & 6 \\

5 & 7

\end

+ 5\times

\begin

3 & 4 \\

5 & 6

\end

= 0 \\

&\begin

2 & 3 & 4 \\

3 & 4 & 5 \\

4 & 5 & 6

\end = 2\times

\begin

4 & 5 \\

5 & 6

\end

- 3\times

\begin

3 & 5 \\

4 & 6

\end

+ 4\times

\begin

3 & 4 \\

4 & 5

\end

= 0 \\

\end

$$

将这些结果代入到原式中，得到：

$$

\begin

&\begin

1 & 2 & 3 & 4 \\

2 & 3 & 4 & 5 \\

3 & 4 & 5 & 6 \\

4 & 5 & 6 & 7

\end \\

=& 1\times 6 - 2\times (-6) + 3\times 0 - 4\times 0 \\

=& 0

\end

$$

因此，该四阶行列式的值为0。

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