第一章 行列式 第二三节 全排列及其逆序数/n阶行列式的定义

  把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排列）。n个不同元素的所有排列的种数，通常用 P n P_{n} Pn​表示。

P n = n ⋅ ( n − 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ 2 ⋅ 1 = n ! P_{n} = n·(n-1)·\cdots·2·1 = n! Pn​=n⋅(n−1)⋅⋯⋅2⋅1=n!

  对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序，于是在这n个元素的任一排列中，当某个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

  设

p 1 p 2 ⋯ p n p_{1}p_{2} \cdots p_{n} p1​p2​⋯pn​

为n个自然数的一个排列，考虑元素 p i ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) p_{i}(i=1,2, \cdots ,n) pi​(i=1,2,⋯,n),如果比 p i p_{i} pi​大的并且排在其前面的元素有 t i t_{i} ti​个，就说 p i p_{i} pi​这个元素的逆序数是 t i t_{i} ti​.那么全体元素的逆序数之和

t = t 1 + t 2 + ⋯ + t n = ∑ i = 1 n t i . t = t_{1} + t_{2} + \cdots + t_{n} = \sum_{i=1}^n{t_{i}}. t=t1​+t2​+⋯+tn​=i=1∑n​ti​.

  设有 n 2 n^{2} n2个数，排成n行n列的数表

(1) a 11 a 12 ⋯ a 1 n , a 21 a 22 ⋯ a 2 n , ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n , \begin{matrix} a_{11} ; a_{12} ; \cdots ; a_{1n} ,\\ a_{21} ; a_{22} ; \cdots ; a_{2n}, \\ ; \cdots;\cdots \\ a_{n1} ; a_{n2} ; \cdots ; a_{nn}, \end{matrix} \tag{1} a11​a21​an1​​a12​a22​⋯an2​​⋯⋯⋯⋯​a1n​,a2n​,ann​,​(1) 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号 ( − 1 ) t (-1)^{t} (−1)t，得到形如

(2) ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 ⋯ a n p n (-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}} \cdots a_{np_{n}} \tag{2} (−1)ta1p1​​a2p2​​⋯anpn​​(2)

的项，其中 p 1 p 2 ⋯ p n p_{1}p_{2} \cdots p_{n} p1​p2​⋯pn​为自然数 1 , 2 , ⋯ n 1,2, \cdots n 1,2,⋯n的一个排列，t为这个排列的逆序数.由于这样的排列有 n ! n! n!个，因而形如(2)式的项共有 n ! n! n!.所有这 n ! n! n!项的代数和

(3) ∑ ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 ⋯ a n p n \sum{(-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}} \cdots a_{np_{n}}} \tag{3} ∑(−1)ta1p1​​a2p2​​⋯anpn​​(3)

称为n阶行列式，记作

(4) ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ , \left| \begin{matrix} a_{11} ; a_{12} ; \cdots ; a_{1n} \\ a_{21} ; a_{22} ; \cdots ; a_{2n} \\ ; \cdots;\cdots \\ a_{n1} ; a_{n2} ; \cdots ; a_{nn} \end{matrix} \right|, \tag{4} ∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​an1​​a12​a22​⋯an2​​⋯⋯⋯⋯​a1n​a2n​ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣​,(4)

简记作 d e t ( a i j ) , det(a_{ij}), det(aij​), 其中数 a i j a_{ij} aij​为行列式D的(i,j)元。

《线性代数》同济大学第五版笔记