一矩阵

2024-07-18 04:59| 来源: 网络整理| 查看: 265

此条目的主题是所有元素皆为1的矩阵。关于主对角线元素为1、其余元素为0的矩阵，请见“单位矩阵”。

在数学中，一矩阵又称为全一矩阵，是指所有元素皆为1的矩阵[1]，通常以符号 J {\displaystyle J} 来表示，并以下标符号表示矩阵的维度[2]，例如：

J 2 = ( 1 1 1 1 ) ; J 3 = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ; J 2 , 5 = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ; J 1 , 2 = ( 1 1 ) . {\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad }

部分文献将之称为单元矩阵或单位矩阵（英语：unit matrix[3][2]）。但“单位矩阵”一词更常代表主对角线为一、其余为零的单位矩阵[3][4]:71，两者是不同的矩阵。

类似地，一向量或全一向量是指只所有元素皆为1的向量，可以视为有一行或只有一列的全一矩阵，其也不应与单位向量混淆。

特别地， 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} 的全一矩阵与单位矩阵是等价的，即 I 1 = J 1 = [ 1 ] {\displaystyle I_{1}=J_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}} 。对于所有维度大于或等于2的全一矩阵，若其为方阵，则其行列式为0。[2]

目录 1 性质 2 应用 3 参见 4 参考文献性质

所有的 n × n {\displaystyle n\times n} 的全一方阵（为方阵的全一矩阵） J n {\displaystyle J_{n}} 有以下性质：

J n {\displaystyle J_{n}} 的迹为 n {\displaystyle n} [5] 若 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} ， J n {\displaystyle J_{n}} 的行列式为 det J n = 0 {\displaystyle \det J_{n}=0} 。对于小于2的情况，行列式为1，即 det J 1 = det [ 1 ] = 1 {\displaystyle \det J_{1}=\det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1} 。（若也将 n = 0 {\displaystyle n=0} 考虑进来，则若将空矩阵也视为一种全一矩阵，则其行列式也为1[6]）全一矩阵 J n {\displaystyle J_{n}} 的特征多项式为 ( x − n ) x n − 1 {\displaystyle (x-n)x^{n-1}} 全一矩阵 J n {\displaystyle J_{n}} 的极小多项式为 ( x − n ) x {\displaystyle (x-n)x} 全一矩阵 J n {\displaystyle J_{n}} 的秩为1、特征值为 n {\displaystyle n} （代数重数为1）和0（代数重数为 n − 1 {\displaystyle n-1} ）[7] J k = n k − 1 J {\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J} ，其中 k = 1 , 2 , … . {\displaystyle k=1,2,\ldots .} [8] 全一矩阵 J {\displaystyle J} 是阿达玛乘积的单位元[9]

当全一矩阵 J {\displaystyle J} 在实矩阵运算时，以下附加性质成立：

全一矩阵 J {\displaystyle J} 为半正定矩阵 1 n J n {\displaystyle {\frac {1}{n}}J_{n}} 为幂等矩阵[8] 全一矩阵 J {\displaystyle J} 的矩阵指数为 exp ⁡ ( J n ) = I + e n − 1 n J n {\displaystyle \exp(J_{n})=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J_{n}} 应用

全一矩阵可以应用于数学领域中的组合学，特别是在涉及代数方法的图论中。举例来说，如果 A {\displaystyle A} 是 n {\displaystyle n} 个顶点无向图 G {\displaystyle G} 的邻接矩阵，且 J {\displaystyle J} 是与 A {\displaystyle A} 相同维度的全一矩阵，则若 A J = J A {\displaystyle AJ=JA} 时， G {\displaystyle G} 为正则图，反之亦然。[10]

参见零矩阵矩阵单元参考文献 ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R., 0.2.8 The all-ones matrix and vector, Matrix Analysis, Cambridge University Press: 8, 2012 [2022-04-24], ISBN 9780521839402, （原始内容存档于2022-04-24） . ^ 2.0 2.1 2.2 Weisstein, Eric W. (编). Unit Matrix. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. ^ 3.0 3.1 简秋记. 單位矩陣 unit matrix. 力学名词辞典, 国家教育研究院. 2002年12月 [2022-04-24]. （原始内容存档于2021-01-19）. ^ Akivis, M. A. and Goldberg, V. V., An Introduction to Linear Algebra and Tensors, New York: Dover, 1972 ^ Stanley, Richard P., Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More, Springer, Lemma 1.4, p. 4, 2013 [2022-04-24], ISBN 9781461469988, （原始内容存档于2022-05-01） . ^ Faliva, Mario; Zoia, Maria Grazia, Dynamic Model Analysis: Advanced Matrix Methods and Unit-Root Econometrics Representation Theorems 2nd, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag: 218, 2008, ISBN 9783540859956 ^ Stanley (2013); Horn & Johnson (2012), p. 65 （页面存档备份，存于互联网档案馆）. ^ 8.0 8.1 Timm, Neil H., Applied Multivariate Analysis, Springer texts in statistics, Springer: 30, 2002 [2022-04-24], ISBN 9780387227719, （原始内容存档于2022-04-24） . ^ Smith, Jonathan D. H., Introduction to Abstract Algebra, CRC Press: 77, 2011 [2022-04-24], ISBN 9781420063721, （原始内容存档于2022-04-24） . ^ Godsil, Chris, Algebraic Combinatorics, CRC Press, Lemma 4.1, p. 25, 1993 [2022-04-24], ISBN 9780412041310, （原始内容存档于2022-04-24） .

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