线性代数（2）行列式6种运算性质

2024-06-25 14:37| 来源: 网络整理| 查看: 265

来自B站《猴博士爱讲课》，摘取行列式6种常用的运算性质

1.对角线x，其余a

[ x a ⋯ a a x ⋯ a ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a a ⋯ x ] = ( x − a ) n − 1 [ x + ( n − 1 ) a ] \begin{bmatrix}x;a;\cdots;a\\a;x;\cdots;a\\\vdots;\vdots;\ddots;\vdots\\a;a;\cdots;x\end{bmatrix}=(x-a)^{n-1}[x+(n-1)a] ⎣⎢⎢⎢⎡xa⋮aax⋮a⋯⋯⋱⋯aa⋮x⎦⎥⎥⎥⎤=(x−a)n−1[x+(n−1)a]

矩阵特点：n行n列，除对角线均是x外，矩阵其他数均是a实例：对于矩阵 [ 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 ] \begin{bmatrix}2;3;3;3\\3;2;3;3\\3;3;2;3\\3;3;3;2\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡2333323333233332⎦⎥⎥⎤，这里 x = 2 ; a = 3 ; n = 4 x=2;a=3;n=4 x=2;a=3;n=4代入公式得 ( 2 − 3 ) 4 − 1 [ 2 + ( 4 − 1 ) 3 ] (2-3)^{4-1}[2+(4-1)3] (2−3)4−1[2+(4−1)3],化简得-11。 2.矩阵内两行（列）等比矩阵为0

（1）矩阵内两行（列）相同或者成比例时，矩阵为0 （2）某行（列）为两项相加减时，行列式可拆成两个行列式相加减

实例对于 [ 1 2 3 2 4 6 5 6 8 ] \begin{bmatrix}1;2;3\\2;4;6\\5;6;8\end{bmatrix} ⎣⎡125246368⎦⎤，由于 r 2 = 2 r 1 r_2=2r_1 r2=2r1，因此此矩阵为0. 3.某行（列）为两项加减的时，可拆成两个行列式加减形式实例已知 [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] = 1 \begin{bmatrix}a_1;b_1;c_1\\a_2;b_2;c_2\\a_3;b_3;c_3\end{bmatrix}=1 ⎣⎡a1a2a3b1b2b3c1c2c3⎦⎤=1，求 [ a 1 b 1 a 1 + c 1 a 2 b 2 a 2 + c 2 a 3 b 3 a 3 + c 3 ] \begin{bmatrix}a_1;b_1;a_1+c_1\\a_2;b_2;a_2+c_2\\a_3;b_3;a_3+c_3\end{bmatrix} ⎣⎡a1a2a3b1b2b3a1+c1a2+c2a3+c3⎦⎤? 由上述行列式加减的性质，可将原式拆成两个行列式相加的形式，则原式 [ a 1 b 1 a 1 + c 1 a 2 b 2 a 2 + c 2 a 3 b 3 a 3 + c 3 ] = [ a 1 b 1 a 1 a 2 b 2 a 2 a 3 b 3 a 3 ] + [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] \begin{bmatrix}a_1;b_1;a_1+c_1\\a_2;b_2;a_2+c_2\\a_3;b_3;a_3+c_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1;b_1;a_1\\a_2;b_2;a_2\\a_3;b_3;a_3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a_1;b_1;c_1\\a_2;b_2;c_2\\a_3;b_3;c_3\end{bmatrix} ⎣⎡a1a2a3b1b2b3a1+c1a2+c2a3+c3⎦⎤=⎣⎡a1a2a3b1b2b3a1a2a3⎦⎤+⎣⎡a1a2a3b1b2b3c1c2c3⎦⎤，由于前面矩阵 c 1 = c 3 c_1=c_3 c1=c3，因此为0；后面的矩阵是已知的，因此，最终结果就是1。 4.求余子式(M)、代数余子式(A) 余子式（M），求 M x y M_{xy} Mxy就是去掉矩阵的x行y列后剩下的数重组矩阵代数余子式（A）， A x y = ( − 1 ) x + y ∗ M x y A_{xy}=(-1)^{x+y}*M_{xy} Axy=(−1)x+y∗Mxy实例求矩阵 [ 1 2 3 2 4 6 5 6 8 ] \begin{bmatrix}1;2;3\\2;4;6\\5;6;8\end{bmatrix} ⎣⎡125246368⎦⎤ M 23 M_{23} M23和 A 23 A_{23} A23？去掉第2行第3列后得到新矩阵 [ 1 2 5 6 ] \begin{bmatrix}1;2\\5;6\end{bmatrix} [1526]，求得结果为-4。 A 23 = ( − 1 ) 2 + 3 ∗ M 23 = ( − 1 ) ∗ ( − 4 ) = 4 A_{23}=(-1)^{2+3}*M_{23}=(-1)*(-4)=4 A23=(−1)2+3∗M23=(−1)∗(−4)=4 5.多个余子式或代数余子式加减

已知 D = [ 1 2 3 4 ] D=\begin{bmatrix}1;2\\3;4\end{bmatrix} D=[1324]，求 3 A 11 + 2 A 12 3A_{11}+2A_{12} 3A11+2A12? 求A步骤： 1.找到 A x y A_{xy} Axy对应位置，这里是1行1列的1和1行2列的2的位置 2.将A前的系数替换到对应的位置形成新的行列式这里，新的行列式是 [ 3 2 3 4 ] \begin{bmatrix}3;2\\3;4\end{bmatrix} [3324] 3.求新生成行列式的值即得到最终结果 [ 3 2 3 4 ] = 3 ∗ 4 − 3 ∗ 2 = 6 \begin{bmatrix}3;2\\3;4\end{bmatrix}=3*4-3*2=6 [3324]=3∗4−3∗2=6 这里用直接计算A的方式验证一下： M 11 = 4 M_{11}=4 M11=4， A 11 = ( − 1 ) 1 + 1 ∗ 4 = 4 A_{11}=(-1)^{1+1}*4=4 A11=(−1)1+1∗4=4 M 12 = 3 M_{12}=3 M12=3， A 12 = ( − 1 ) 1 + 2 ∗ 3 = − 3 A_{12}=(-1)^{1+2}*3=-3 A12=(−1)1+2∗3=−3 3 A 11 + 2 A 12 = 3 ∗ 4 + 2 ∗ ( − 3 ) = 6 3A_{11}+2A_{12}=3*4+2*(-3)=6 3A11+2A12=3∗4+2∗(−3)=6

求M步骤：因为 A x y = ( − 1 ) x + y ∗ M x y A_{xy}=(-1)^{x+y}*M_{xy} Axy=(−1)x+y∗Mxy，因此可通过该式将 M x y M_{xy} Mxy转换成 A x y A_{xy} Axy，再按照求代数余子式的方法进行计算。示例：已知 D = [ 1 2 3 4 ] D=\begin{bmatrix}1;2\\3;4\end{bmatrix} D=[1324]，求 3 M 11 + 2 M 12 3M_{11}+2M_{12} 3M11+2M12? 因为 A 11 = ( − 1 ) 1 + 1 ∗ M 11 A_{11}=(-1)^{1+1}*M_{11} A11=(−1)1+1∗M11,所以 M 11 = A 11 M_{11}=A_{11} M11=A11 因为 A 12 = ( − 1 ) 1 + 2 ∗ M 12 A_{12}=(-1)^{1+2}*M_{12} A12=(−1)1+2∗M12,所以 M 12 = − A 12 M_{12}=-A_{12} M12=−A12 所以原式 3 M 11 + 2 M 12 = 3 A 11 − 2 A 12 3M_{11}+2M_{12}=3A_{11}-2A_{12} 3M11+2M12=3A11−2A12 所以新行列式 [ 3 − 2 3 4 ] = 3 ∗ 4 − ( − 2 ) ∗ 3 = 18 \begin{bmatrix}3;-2\\3;4\end{bmatrix}=3*4-(-2)*3=18 [33−24]=3∗4−(−2)∗3=18 直接代入 M x y M_{xy} Mxy验证，原式 3 M 11 + 2 M 12 = 3 ∗ 4 + 2 ∗ 3 = 18 3M_{11}+2M_{12}=3*4+2*3=18 3M11+2M12=3∗4+2∗3=18，得到同样的结果。

6.给一个方程组，判断其解

判断 { x 1 + 2 x 2 = 0 4 x 1 + 5 x 2 = 0 \begin{cases}x_1+2x_2=0\\4x_1+5x_2=0\end{cases} {x1+2x2=04x1+5x2=0是否有唯一解。判断依据：

方程组 D ≠ 0 D\neq0 D̸=0 D = 0 D=0 D=0齐次只有一组零解有零解与非零解非齐次只有一组非零解有多个解或者非零解

注：齐次是指方程组除了带x的项和0项，没有常数项非齐次则是方程组除了带x的项，还有常数项零解是指方程的解是0

原式 { x 1 + 2 x 2 = 0 4 x 1 + 5 x 2 = 0 \begin{cases}x_1+2x_2=0\\4x_1+5x_2=0\end{cases} {x1+2x2=04x1+5x2=0没有常数项，又： D = [ 1 2 4 5 ] = − 3 ≠ 0 D=\begin{bmatrix}1;2\\4;5\end{bmatrix}=-3\neq0 D=[1425]=−3̸=0，根据上表可知原式只有一组零解

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