基本磁场计算公式的简单推导

  对于导线周围的磁场分布，可以从比奥-萨伐尔（Biot-Savart）定理出发，推导出任意电流导线、或者导体周围的磁感应强度。讨论这个问题主要是为了能够对 电磁炉中的螺旋线圈 周围测磁场进行数值分析研究。

  毕奥-萨伐尔定理(Biot-Savart Law)： 电流元 I d l ⃗ Id\vec l Idl 在空间某点P处产生的磁感应强度 d B ⃗ d\vec B dB 的大小与电流元 I d l ⃗ Id\vec l Idl 的大小成正比，与电流元 I d l ⃗ Id\vec l Idl 所在处到P点的位置矢量和电流元 I d l ⃗ Id\vec l Idl 之间的夹角的正弦成正比，而与电流元 I d l ⃗ Id\vec l Idl 到P点的距离的平方成反比。

d B ⃗ = μ 0 4 π ⋅ I d l ⃗ × r ⃗ r 3 = μ 0 4 π ⋅ I d l ⋅ sin ⁡ θ r 2 d\vec B = {{\mu _0 } \over {4\pi }} \cdot {{Id\vec l \times \vec r} \over {r^3 }} = {{\mu _0 } \over {4\pi }} \cdot {{Idl \cdot \sin \theta } \over {r^2 }} dB =4πμ0​​⋅r3Idl ×r ​=4πμ0​​⋅r2Idl⋅sinθ​

B ⃗ = ∫ L μ 0 4 π ⋅ I d l × e ⃗ r r 2 \vec B = \int_L^{} {{{\mu _0 } \over {4\pi }} \cdot {{Idl \times \vec e_r } \over {r^2 }}} B =∫L​4πμ0​​⋅r2Idl×e r​​

  其中 I I I是源电流， L L L是积分路径。 d l dl dl是源电流危险线元素， e ⃗ r \vec e_r e r​是电流元到待求场点的单位向量。

μ 0 = 4 π × 1 0 − 7 T m / A \mu _0 = 4\pi \times 10^{ - 7} Tm/A μ0​=4π×10−7Tm/A是真空磁导率值。

  下面是非常常见到的磁场计算公式推导。如果在一段有限长直线电流旁边P点，距离直线电流直线距离为a，计算P点出的磁感应场强B。

  建立如下的坐标系 O x y Oxy Oxy。那么直线上的电流元就是 I d y Idy Idy。那么根据Biot-Savart定理，P点的磁场为：

  其中对于： ∫ c b d y ( y 2 + a 2 ) 3 2 \int_c^b {{{dy} \over {\left( {y^2 + a^2 } \right)^{{3 \over 2}} }}} ∫cb​(y2+a2)23​dy​   的积分，使用simpy库函数进行推导。

  将b,c的值代入上述可以得到： B p = μ 0 I 4 π a ( cos ⁡ θ 1 − cos ⁡ θ 2 ) B_p = {{\mu _0 I} \over {4\pi a}}\left( {\cos \theta _1 - \cos \theta _2 } \right) Bp​=4πaμ0​I​(cosθ1​−cosθ2​)

  根据： y = − a ⋅ cos ⁡ θ sin ⁡ θ y = - a \cdot {{\cos \theta } \over {\sin \theta }} y=−a⋅sinθcosθ​   那么对于上式两边同时进行微分： d y = d ( − a cos ⁡ θ sin ⁡ θ ) = a sin ⁡ 2 θ d θ dy = d\left( { - a{{\cos \theta } \over {\sin \theta }}} \right) = {a \over {\sin ^2 \theta }}d\theta dy=d(−asinθcosθ​)=sin2θa​dθ   这其中应用到： d ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ ) = − ( 1 + cos ⁡ 2 θ sin ⁡ 2 θ ) = − 1 sin ⁡ 2 θ d\left( {{{\cos \theta } \over {\sin \theta }}} \right) = - \left( {1 + {{\cos ^2 \theta } \over {\sin ^2 \theta }}} \right) = {{ - 1} \over {\sin ^2 \theta }} d(sinθcosθ​)=−(1+sin2θcos2θ​)=sin2θ−1​

  那么，由Biot-Savart定理：

d y ⃗ × r ⃗ r 3 = d y ⋅ sin ⁡ θ r 2 = a sin ⁡ 2 θ d θ ⋅ sin ⁡ θ ( a sin ⁡ θ ) 2 = sin ⁡ θ d θ a {{d\vec y \times \vec r} \over {r^3 }} = {{dy \cdot \sin \theta } \over {r^2 }} = {{{a \over {\sin ^2 \theta }}d\theta \cdot \sin \theta } \over {\left( {{a \over {\sin \theta }}} \right)^2 }} = {{\sin \theta d\theta } \over a} r3dy ​×r ​=r2dy⋅sinθ​=(sinθa​)2sin2θa​dθ⋅sinθ​=asinθdθ​

  最终积分式变为： μ 0 4 π ∫ c b d y ⃗ × r ⃗ r 3 = μ 0 I 4 π a ∫ θ 1 θ 2 sin ⁡ θ d θ {{\mu _0 } \over {4\pi }}\int_c^b {{{d\vec y \times \vec r} \over {r^3 }}} = {{\mu _0 I} \over {4\pi a}}\int_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sin \theta d\theta } 4πμ0​​∫cb​r3dy ​×r ​=4πaμ0​I​∫θ1​θ2​​sinθdθ   最终可以得到与上式相同的表达式。

  电流元可以表示为： d l = R d θ dl = Rd\theta dl=Rdθ

I d l ⃗ × r ⃗ = I ⋅ R d θ ⋅ R Id\vec l \times \vec r = I \cdot Rd\theta \cdot R Idl ×r =I⋅Rdθ⋅R

  那么积分： B 0 = μ 0 4 π ∫ 0 2 π I ⋅ R d θ ⋅ R R 3 = μ 0 I 2 R B_0 = {{\mu _0 } \over {4\pi }}\int_0^{2\pi } {{{I \cdot Rd\theta \cdot R} \over {R^3 }}} = {{\mu _0 I} \over {2R}} B0​=4πμ0​​∫02π​R3I⋅Rdθ⋅R​=2Rμ0​I​

  利用基本的Biot-Savart定理，可以得到基本的直线和圆环磁场强度的解析解。那么对于一些复杂的曲线的推导就会非常复杂，具体的结果需要通过数值求解来完成。

  可以利用在 Laplace数值逆运算的讨论 给出的一些Python语言实现的数值积分来完成求解。

  比如利用下面的梯形数值积分来验证一下直线磁场计算数值解。

  假设具体的参数为： a = 1 , θ 1 = π 4 , θ 2 = 2 π 3 a = 1,\theta _1 = {\pi \over 4},\theta _2 = {2\pi \over 3} a=1,θ1​=4π​,θ2​=32π​ I = 1 ,    μ 0 = 4 π × 1 0 − 7 I = 1,\,\,\mu _0 = 4\pi \times 10^{ - 7} I=1,μ0​=4π×10−7

  直接根据公式： B = μ 0 I 4 π a ( cos ⁡ θ 1 − cos ⁡ θ 2 ) B = {{\mu _0 I} \over {4\pi a}}\left( {\cos \theta _1 - \cos \theta _2 } \right) B=4πaμ0​I​(cosθ1​−cosθ2​)   可以得到： B = 1.20711 × 1 0 − 7 B = 1.20711 \times 10^{ - 7} B=1.20711×10−7

  利用数据进行求解： c = − a ⋅ c t g ( π 4 ) = − 1 c = - a \cdot ctg\left( {{\pi \over 4}} \right) = - 1 c=−a⋅ctg(4π​)=−1 b = − a ⋅ c t g ( 2 π 4 ) = 0.57735 b = - a \cdot ctg\left( {{{2\pi } \over 4}} \right) = 0.57735 b=−a⋅ctg(42π​)=0.57735

B = μ 0 ⋅ I 4 π ∫ c b a ( y 2 + a 2 ) 3 2 d y B = {{\mu _0 \cdot I} \over {4\pi }}\int_c^b {{a \over {\left( {y^2 + a^2 } \right)^{{3 \over 2}} }}dy} B=4πμ0​⋅I​∫cb​(y2+a2)23​a​dy

  经过数值积分结果为： B = 1.207078 × 1 0 − 7 B = 1.207078 \times 10^{ - 7} B=1.207078×10−7

  对比上述结果可以看到结果是非常接近的。

■ 相关文献链接:

● 相关图表链接: