【数据结构】树与二叉树（三）：二叉树的定义、特点、性质及相关证明

  一个森林是0棵或多棵不相交（非空）树的集合，通常是一个有序的集合。换句话说，森林由多个树组成，这些树之间没有交集，且可以按照一定的次序排列。在森林中，每棵树都是独立的，具有根节点和子树，树与树之间没有直接的连接关系。   森林是树的扩展概念，它是由多个树组成的集合。在计算机科学中，森林也被广泛应用于数据结构和算法设计中，特别是在图论和网络分析等领域。

参照前文：【数据结构】树与二叉树（一）：树（森林）的基本概念：父亲、儿子、兄弟、后裔、祖先、度、叶子结点、分支结点、结点的层数、路径、路径长度、结点的深度、树的深度

  二叉树是一种常见的树状数据结构，它由结点的有限集合组成。一个二叉树要么是空集，被称为空二叉树，要么由一个根结点和两棵不相交的子树组成，分别称为左子树和右子树。每个结点最多有两个子结点，分别称为左子结点和右子结点。

  二叉树的特点是每个结点最多有两个子结点，并且子结点的位置是有序的，即左子结点在前，右子结点在后。这种有序性使得二叉树在搜索、排序等算法中有广泛的应用。

在二叉树中，根结点是整个树的起始点，通过根结点可以访问到整个树的其他结点。每个结点都可以看作是一个独立的二叉树，它的左子树和右子树也是二叉树。

二叉树可以是空树，也可以是只有根结点的树，或者是由多个结点组成的树。每个结点可以包含一个数据元素，以及指向左子结点和右子结点的指针。

二叉树的形状可以各不相同，它可以是平衡的或者不平衡的，具体取决于结点的分布情况。在二叉树中，每个结点的左子树和右子树都是二叉树，因此可以通过递归的方式来处理二叉树的操作。

引理5.1：二叉树中层数为i的结点至多有 2 i 2^i 2i个，其中 i ≥ 0 i \geq 0 i≥0。

引理5.2：高度为k的二叉树中至多有 2 k + 1 − 1 2^{k+1}-1 2k+1−1个结点，其中 k ≥ 0 k \geq 0 k≥0。

引理5.3：设T是由n个结点构成的二叉树，其中叶结点个数为 n 0 n_0 n0​，度数为2的结点个数为 n 2 n_2 n2​，则有 n 0 = n 2 + 1 n_0 = n_2 + 1 n0​=n2​+1。

  证明：使用数学归纳法。

基础步骤： 当 i = 0 i=0 i=0 时，仅有一个根结点，其层数为0。因此，第0层上至多有 2 0 = 1 2^0=1 20=1 个结点。因此，当 i = 0 i=0 i=0 时，引理成立。

归纳假设： 假设当 i = j i=j i=j ( j ≥ 0 ) (j\geq0) (j≥0) 时，二叉树中第 j j j 层上至多有 2 j 2^j 2j 个结点。

归纳步骤： 考虑第 j + 1 j+1 j+1 层上的结点个数。对于任意一个结点，其子结点个数最多为2。根据归纳假设，第 j j j 层上至多有 2 j 2^j 2j 个结点。因此，第 j + 1 j+1 j+1 层上的结点个数最多为 2 × 2 j = 2 j + 1 2\times2^j=2^{j+1} 2×2j=2j+1 个结点。

  因此，根据数学归纳法，对于任意非负整数 i i i，二叉树中层数为 i i i 的结点至多有 2 i 2^i 2i 个。

证毕

  对于高度为k的二叉树，我们可以计算每一层的最大结点数，并将它们相加来得到总结点数的上界。根据引理5.1，第 i i i层上至多有 2 i 2^i 2i个结点。那么，第 0 0 0层至第 k k k层的结点数上界可以表示为： 2 0 + 2 1 + 2 2 + . . . + 2 k 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^k 20+21+22+...+2k

  这是一个等比数列的和，可以使用等比数列求和公式进行计算。等比数列的求和公式为：

S = a ∗ ( r n − 1 ) / ( r − 1 ) S = a * (r^n - 1) / (r - 1) S=a∗(rn−1)/(r−1)

其中，S表示数列的和，a是首项，r是公比，n是项数。

  在我们的情况下，首项a=1，公比r=2，项数n=k+1。将这些值代入公式中，我们可以得到：

2 0 + 2 1 + 2 2 + . . . + 2 k = 1 ∗ ( 2 k + 1 − 1 ) / ( 2 − 1 ) = 2 k + 1 − 1 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^k =1 * (2^{k+1} - 1) / (2 - 1) = 2^{k+1} - 1 20+21+22+...+2k=1∗(2k+1−1)/(2−1)=2k+1−1

因此，高度为k的二叉树中至多有2^(k+1) - 1个结点。

证毕

  设T是由 n n n个结点构成的二叉树，其中叶结点个数为 n 0 n_{0} n0​，次数为2的结点个数为 n 2 n_{2} n2​。

  根据引理5.3的前提条件，我们有以下等式：

n = n 0 + n 1 + n 2 　　　　　　 ( 5 − 1 ) n = n_{0} + n_{1} + n_{2}　　　　　　 (5-1) n=n0​+n1​+n2​　　　　　　(5−1)

其中， n 1 n_{1} n1​是T中次数为1的结点个数。

  另一方面，设二叉树T的边的个数为 E E E。除了根结点外，每个结点和其父结点之间都有且仅有一条边，即一个结点对应一条边。因此，结点的个数 n n n比边的个数 E E E多1（根结点不对应边），即：

n = E + 1 　　　　　　　　　 ( 5 − 2 ) n = E + 1　　　　　　　　　 (5-2) n=E+1　　　　　　　　　(5−2)

  另外，从另一个角度来看，次数为1的结点对应一条边，次数为2的结点对应两条边。因此，边的个数 E E E可以表示为：

E = n 1 + 2 n 2 　　　　　　　　 ( 5 − 3 ) E = n_{1} + 2n_{2}　　　　　　　　(5-3) E=n1​+2n2​　　　　　　　　(5−3)

  我们将(5-1)、(5-2)和(5-3)联立起来，通过求解这个方程组，我们可以得到 n 0 = n 2 + 1 n_{0} = n_{2} + 1 n0​=n2​+1，即二叉树T中的叶结点个数 n 0 n_{0} n0​为次数为2的结点个数 n 2 n_{2} n2​加1。

证毕