随机数据扩充

数据扩充加密（也可称为插值）是比较常见的数据操作，确定性数据的扩充比较简单，可以使用各种插值算法，如线性插值、拉格朗日插值、样条插值等等等；而当数据是随机的时候，有时候也需要插值加密，但比确定性情况复杂的多。 蒙特卡洛模拟中经常需要生成大量满足要求分布的数据，一般有两种方法：已知分布参数情况下，直接生成大量满足要求分布的数据；已知分布形式情况下，由少量数据生成大量数据，也可称为扩充加密。本文从一维到二维，分别探讨了通过少量数据生成同分布大量数据的算法，最后给出了Matlab代码供感兴趣的朋友尝试。

定义：若数据的平均值为，方差为 s 2 s^2 s2，则新数据的平均值为，方差为。反之，若 X X X表示均值为 μ μ μ方差为 σ σ σ的随机数序列，则方差为 a σ aσ aσ均值为 μ + b μ+b μ+b的随机数序列 Y Y Y可以表示为：

Y = a X + b (1) Y = \sqrt a X + b \tag{1} Y=a ​X+b(1)

以上公式也表明，只需有一组正态分布随机数，公式(1)可以用于生成特定标准差和均值的正态分布随机数。

若有少量假定满足（非标准）正态分布的n维初始随机数向量 X X X，要求扩充成大量 m m m维同分布的随机数向量 Y Y Y，则可以使用以下的扩充公式。

Y = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) × U + x ˉ (2) Y = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( { {x_i} - \bar x} \right)} } \times U + \bar x\tag{2} Y=n1​i=1∑n​(xi​−xˉ) ​×U+xˉ(2)

其中，第一项是初始数据的标准差估计；第二项 U U U是满足标准正态分布的 m m m维随机数向量；第三项是均值估计。

一维数据可以表示为某条直线上的一系列点，只需要一列数据就可以唯一确定这些点的位置。

二维数据可以表示为二维平面上的一系列点，需要两列数据（ x x x坐标和 y y y坐标）才能唯一确定这些点的位置。

二维和一维的不同点在于，多了用于衡量两个维度相关性的协方差，我们需要关心 x x x的变化会不会使 y y y产生相应的变化。因此，在二维情况中引入公式(3)所示的协方差矩阵来衡量两个维度的相关性：

Σ = [ C o v ( X , X ) C o v ( X , Y ) C o v ( Y , X ) C o v ( Y , Y ) ] (3) \Sigma = \left[ {\begin{array}{} {Cov\left( {X,X} \right)}&{Cov\left( {X,Y} \right)} \\ {Cov\left( {Y,X} \right)}&{Cov\left( {Y,Y} \right)} \end{array}} \right]\tag{3} Σ=[Cov(X,X)Cov(Y,X)​Cov(X,Y)Cov(Y,Y)​](3)

协方差矩阵中的主对角线是对应变量的方差，斜对角线是两个变量的协方差。从图中可以看到，当协方差为正时，两个维度正相关，表现为y具有随x的增大而增大的趋势；当协方差为负时，两个维度负相关，表现为 y y y具有随 x x x的增大而减小的趋势；当协方差为零时，两变量不相关， y y y随 x x x的变化没有明显的变化趋势。

若有相互独立的标准正态分布变量 X X X和 Y Y Y，及其线性组合后的随机变量 A = a X + b Y A=aX+bY A=aX+bY和 B = c X + d Y B=cX+dY B=cX+dY，则新生成的数据具有数学期望：

E ( A ) = E ( a X + b Y ) = a E ( X ) + b E [