牛顿

前置知识：黎曼积分的概念

设 f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积，令

F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x)=\int_a^xf(t)dt F(x)=∫ax​f(t)dt

则

（1） F F F在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续 （2）若 f f f在点 x 0 ∈ [ a , b ] x_0\in[a,b] x0​∈[a,b]处连续，则 F F F在 x 0 x_0 x0​处可导，且 F ′ ( x 0 ) = f ( x 0 ) F'(x_0)=f(x_0) F′(x0​)=f(x0​) （3）若 f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，则 F F F是 f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的一个原函数。如果 G G G是 f f f的任意一个原函数，则有 ∫ a b f ( x ) d x = G ( b ) − G ( a ) \int_a^bf(x)dx=G(b)-G(a) ∫ab​f(x)dx=G(b)−G(a)

证明： （1）因为 f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上可积，所以 f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有界。令 M M M为 ∣ f ( x ) ∣ |f(x)| ∣f(x)∣的最大值，任取 x 0 ∈ [ a , b ] x_0\in[a,b] x0​∈[a,b]，当 x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x∈[a,b]时，有

∣ F ( x ) − F ( x 0 ) ∣ = ∣ ∫ a x f ( t ) d t − ∫ a x 0 f ( t ) d t ∣ |F(x)-F(x_0)|=|\int_a^xf(t)dt-\int_a^{x_0}f(t)dt| ∣F(x)−F(x0​)∣=∣∫ax​f(t)dt−∫ax0​​f(t)dt∣

= ∣ ∫ x 0 x f ( t ) d t ∣ ≤ M ∣ ∫ x 0 x d x ∣ = M ∣ x − x 0 ∣ =|\int_{x_0}^xf(t)dt|\leq M|\int_{x_0}^xdx|=M|x-x_0| =∣∫x0​x​f(t)dt∣≤M∣∫x0​x​dx∣=M∣x−x0​∣

\qquad 由连续函数的定义，当 x → x 0 x\to x_0 x→x0​时， ∣ x − x 0 ∣ → 0 |x-x_0|\to 0 ∣x−x0​∣→0， M ∣ x − x 0 ∣ → 0 M|x-x_0|\to 0 M∣x−x0​∣→0，所以 F F F在点 x 0 x_0 x0​处连续

\qquad 因为 x 0 x_0 x0​可以取 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的任何值，所以 F F F在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续

（2）依题意， x 0 x_0 x0​是 f f f的连续点，则 ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 \forall\varepsilon>0,\exist\delta>0 ∀ε>0,∃δ>0，当 t ∈ [ a , b ] t\in[a,b] t∈[a,b]且 ∣ t − x 0 ∣ < δ |t-x_0|