大爷大妈都能看懂的中心极限定理证明

2023-03-14 04:25| 来源: 网络整理| 查看: 265

title: 基于特征函数的林德伯格中心极限定理的证明

date: 2020-7-2 19:00:00

category: 高等概率论

基于特征函数的林德伯格-列维中心极限定理的证明

Proof of Lindeberg-levy limit theorem based on characteristic function

0. 林德伯格-列维中心极限定理的介绍

设 $\xi_{i}(n = 1,2,...,n)$ 为独立同分布的随机变量序列，且 $E(\xi_{i})=u,D(\xi_{i})=\sigma^2$ 。令 $\eta_{n}=\frac{ \Sigma(\xi_{i} - u)} {\sqrt{n}\sigma}$ ，那么当 $n\to \infty$ ，随机变量 $\eta_{n}$ 依分布收敛于服从标准正态分布的随机变量X，即

$\lim_{n \to \infty}{\eta _{n}}\to X \sim N(0,1)$

1. 引理（特征函数的定义及性质）

1.1 特征函数的定义如下式：

$\psi(t)=\psi _X(t)=Ee^{itX}=\int_{\infty}^{\infty}e^{itX}dF(x)=Ecos(tX)+isin(tX)$

1.2 标准正态分布的概率密度函数（p.d.f.）及特征函数(c.f.)如下式:

$p.d.f. \space \space \space f(x)=\frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}\\ c.f. \space \space \space \psi(t)=e^{ -\frac{t^2}{2}}$

1.3 独立变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积

2. 基于特征函数的证明过程

令 $\lambda_{i} = \xi_{i} - u，∴$ $\lambda_{i}$ 独立同分布，且 $E\lambda_{i} =0;D(\lambda_{i})=\sigma^2$ 。我们设 $\lambda_{i}$ 的特征函数为 $\psi(t)$ ,则利用引理1.3有 $\eta_{n}$ 的特征函数为 $[ \psi(\frac{t}{\sqrt{n}\sigma})]^n$ ,由高等数学的极限理论可知，当 $n \to \infty$ ，有 $\frac{t}{\sigma\sqrt{n}} \to 0$ .