考研线性代数：矩阵的合同关系，合同对角化以及一些坑

A,B为两个n阶对称方阵，若存在一个可逆方阵，使得

        C'AC=B（C'代表的是C的转置矩阵）

称A与B是合同的。

任意一实对称方阵都合同与一个对角方阵。

想要求出矩阵C，可以构造（A,E）矩阵当把它A转化成了对角矩阵Λ，E就变成了C'，这样就求出了矩阵C。

注：（A,E）需要就行成对的初等行变化和初等列变化，例如一次变化c1+c2，还需要r1+r2（第二列加到第一列，第二行加到第一行，行变化和列变化的顺序不影响最后的结果）。

其实很容易发现列变化对初始的E矩阵其实是无效的，也就是说E只进行了初等行变化，也就是相当于左乘了矩阵，一次列变化就相当于乘以了一个初等矩阵，这一系列初等矩阵的乘积的结果就是C'，也就是为什么最后当A矩阵变成对角矩阵的时候，E矩阵就已经变成了C'（A是既左乘了又右乘了，而E就是行变化相当于左乘，而左乘的结果为C',所以E变成了C'）。

拓展的一点:

还是成对的使用初等行变化和初等列变化，但是要注意的是当A变成对角矩阵Λ的时候时，E变成了C而不是C'（E在A的下方其实只进行了初等列表变化，一次变化相当于右乘一个初等矩阵，最终乘积的结果就为C），以下是教科书详细的解释。

当题目给出A与B合同，也就是存在可逆矩阵C，C'AC=B ，给出A,B矩阵让你求出可逆矩阵C。

（1）如果矩阵A和矩阵B大致相似，直接对矩阵(A,E）进行成对的初等行变化和初等列变化使得初始A矩阵变成B矩阵，那么初始的单位矩阵E就变成了C'。

（2）当发现不好直接把A变成B的时候，就可以借助对角矩阵Λ了，A与B合同的充分必要条件是pA=pB,qA=qB（pA，pB分别为A的正惯性系数，B的正惯性系数，qA，qB分别为A的负惯性系数，B的负惯性系数）也就是A与B一定合同与同一个对角矩阵Λ。

C'AC=B

一个例子证明它不是唯一的：