10.1 随机事件与概率

\(\mathbf{{\large {\color{Red} {欢迎到学科网下载资料学习}} } }\)【高分突破系列】 高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义！ \(\mathbf{{\large {{\color{Red} {跟贵哥学数学，so \quad easy！}} }}}\)

必修第二册同步拔高，难度3颗星！

① 有限样本空间与随机事件 (1) 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母\(E\)表示， 我们把随机试验\(E\)的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为\(E\)试验的样本空间.用\(Ω\)表示样本空间，用\(ω\)表示样本点.如果一个随机试验有\(n\)个可能结果结果\(ω_1\)，\(ω_2\) ，… ，\(ω_n\)，则称样本空间\(Ω=\{ω_1 ，ω_2 ，… ，ω_n\}\)为有限样本空间. (2) 事件 样本空间\(Ω\)的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母\(A\) ，\(B\) ，\(C\) ，…表示.  

必然事件，不可能事件，随机事件. 在\(12\)件瓷器中，有\(10\)件一级品，\(2\)件二级品，从中任取\(3\)件.   (1) “\(3\)件都是二级品”是什么事件？   (2) “\(3\)件都是一级品”是什么事件？   (3)“至少有一件是一级品”是什么事件？ 解 (1)因为\(12\)件瓷器中，只有\(2\)件二级品，取出\(3\)件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件. (2)“\(3\)件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件. (3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为\(12\)件瓷器中只有\(2\)件二级品，取三件必有一级品.  

1 包含 一般地，若事件\(A\)发生，则事件\(B\)一定发生，我们就称事件\(A\)包含于事件\(B\)，记作\(A\subseteq B\)；

2 并事件(或和事件) 一般地，事件\(A\)与事件\(B\)至少有一个发生，我们称这个事件为事件\(A\)与事件\(B\)的并事件(或和事件)，记作\(A\cup B\)(或\(A+B\)).

3 交事件(或积事件) 一般地，事件\(A\)与事件\(B\)同时发生，我们称这样一个事件为事件\(A\)与事件\(B\)的交事件(或积事件)，记作\(A\cap B\)(或\(AB\)).

4 互斥 一般地，如果事件\(A\)与事件\(B\)不能同时发生，也就是\(A\cap B\)是一个不可能事件，即\(A\cap B=\varnothing\)，则称事件\(A\)与事件\(B\)互斥(或互不相容).

5 对立 一般地，如果事件\(A\)与事件\(B\)在任何一次试验中有且仅有一个发生，即\(A\cup B=Ω\)且\(A\cap B=\varnothing\)，则称事件\(A\)与事件\(B\)互为对立，事件\(A\)的对立事件记为\(\overline{A}\).

综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下

类似地，我们可以定义多个事件的和事件及其积事件.例如，对于三个事件\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(A\cup B\cup C\)（或\(A+B+C\)）发生当且仅当\(A\)，\(B\)，\(C\)中至少一个发生，\(A\cap B\cap C\)（或\(ABC\)）发生当且仅当\(A\)，\(B\)，\(C\)同时发生，等等.  

(1) 古典概型的特点 有限性：样本空间的样本点只有有限个； 等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

(2) 古典概型事件\(A\)的概率

性质1 对任意事件\(A\)，都有\(P(A)≥0\)； 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为\(0\)； 性质3 若事件\(A\)与事件\(B\)互斥时，则\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)； 性质4 若事件\(A\)与事件\(B\)对立事件，则\(P(B)=1-P(A)\) ，\(P(A)=1-P(B)\)； 性质5 如果\(A\subseteq B\)，那么\(P(A)≤P(B)\)； 性质6 设\(A\) ，\(B\)是一个随机试验中的两个事件，有\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).  

【典题1】 从\(5\)位男生和\(2\)位女生共\(7\)位同学中任意选派\(3\)人，属必然事件的是(　　)   A．\(3\)位都是女生 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．至少有\(1\)位是女生   C．\(3\)位都不是女生 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．至少有\(1\)位是男生 【解析】由于从\(5\)位男生和\(2\)位女生共7位同学中任意选派\(3\)人， 有\(3\)位男生，\(2\)位男生\(1\)位女生，\(1\)位男生\(2\)位女生，共三种情况 故\(A\)为不可能事件，\(B\)，\(C\)为随机事件，\(D\)为必然事件． 故答案为 \(D\).  

【典题2】 从装有十个红球和十个白球的罐子里任取\(2\)球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是(　　)   A．至少有一个红球；至少有一个白球   B．恰有一个红球；都是白球   C．至少有一个红球；都是白球   D．至多有一个红球；都是红球 【解析】对于\(A\)，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件； 对于\(B\)，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取\(2\)个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件； 对于\(C\)，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件； 对于\(D\)，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件. 【点拨】对立事件是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.  

【典题3】 如果事件\(A\) ，\(B\)互斥，记\(\bar{A}\)，\(\bar{B}\)分别为事件\(A\) ，\(B\)的对立事件，那么(　　)   A．\(A\cup B\)是必然事件 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(\bar{A}\cup\bar{B}\)是必然事件   C. \(\bar{A}\)与\(\bar{B}\)一定互斥 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(\bar{A}\)与\(\bar{B}\)一定不互斥 【解析】 用\(Venn\)图解决此类问题较为直观．如右图所示，\(\bar{A}\cup \bar{B}\)是必然事件，故选\(B\). 【点拨】利用集合的关系看事件之间的关系会更直观.  

【典题1】 先后投掷两枚骰子，出现的点数记作\((m ，n)\)，设\(X=m+n\)．   (1)求\(m=n\)的概率；   (2)试列举出\(X≤6\)的所有可能的结果;   (3)求\(X≤3\)或\(X>6\)的概率． 【解析】(Ⅰ)先后投掷两枚骰子，出现的点数情况有： \((1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)\)， \((2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)\)， \((3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)\)， \((4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)\)， \((5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)\)， \((6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)\)， 共有\(36\)种可能结果， 而\(m=n\)有\(6\)结果，为\((1 ，1) ，(2 ，2) ，(3 ，3) ，(4 ，4) ，(5 ，5) ，(6 ，6)\)， (也可以使用树状图 ) 所以 \(P(m=n)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)， (Ⅱ)\(X≤6\)的所有可能的结果有\((1 ，1) ，(1 ，2) ，(1 ，3) ，(1 ，4) ，(1 ，5)\)， \((2 ，1) ，(2 ，2) ，(2 ，3) ，(2 ，4) ，(3 ，1)\)， \((3 ，2) ，(3 ，3) ，(4 ，1) ，(4 ，2) ，(5 ，1)\) ， 共有\(15\)种情况， (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)可知，\(X≤3\)的所有可能的结果有\(3\)种，为\((1 ，1)、(1 ，2)、(2 ，1)\)， \(X>6\)的所有可能的结果有\(36-21=15\)， \(p(X \leq 3 \text { 或 } X>6)=\dfrac{3}{36}+\dfrac{21}{36}=\dfrac{2}{3}\). 【点拨】根据古典概型事件\(A\)的概率 \(P(A)=\dfrac{\text { 事件 } A \text { 的样本点个数 }}{\text { 样本空间 } \Omega \text { 的样本点个数 }}\)，一般都用穷举法，比如列树状图或者把每个样本点一一列举，关键就要做到不重不漏，在一一列举的时候最好能够按照一定的规律进行.  

【典题2】 任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为 \(\underline{\quad \quad}\). 【解析】方法一 任取三个整数，共有八种情况： 其中至少有一个数为偶数的情况有\(7\)种，所以所求概率为\(\dfrac{7}{8}=0.875\)， 方法二 任取三个整数，共有八种情况，设“都是奇数”为事件\(A\)，“至少有一个数为偶数”事件\(B\)，而事件\(A\) ，\(B\)是对立事件， \(P(A)=\dfrac{1}{8}\)，故 \(P(B)=1-P(A)=\dfrac{7}{8}=0.875\). 【点拨】 ① 因为是取三个整数，列树状图时有\(3\)列. ② 方法一从正面入手，方法二从反面切入，往后题目中出现“至少”，“至多”等字眼，都可以从反面进行思考。  

【典题3】 一个正方体，它的表面涂满了红色．在它的每个面上切两刀可得\(27\)个小立方块，从中任取两个，其中恰有\(1\)个一面涂有红色，\(1\)个两面涂有红色的概率为\(\underline{\quad \quad}\) . 【解析】根据题意，分析可得： 在分割下来的\(27\)个完全相等的小正方体中，有\(6\)个只有一面有红色，有\(12\)个两面有红色，8块有\(3\)面红色，而还有一个没有红色； 则从中任取\(2\)个，其中\(1\)个恰有一面涂有红色，另\(1\)个恰有两面涂有红色的情况有\(12×6\)种； 而从\(27\)块中任取两块，有\(27×26\)种情况； 则从中任取\(2\)个，其中\(1\)个恰有一面涂有红色，另\(1\)个恰有两面涂有红色的概率为\(\dfrac{12 \times 6}{27 \times 26}=\dfrac{8}{39}\).  

【典题4】 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如\(343\)、\(12521\)等，两位数的回文数有\(11、22、33、…、99\)共\(9\)个，则三位数的回文数中为偶数的概率是 \(\underline{\quad \quad}\) . 【解析】三位数的回文数为\(ABA\)， \(A\)有\(1\)到\(9\)共\(9\)种可能，即\(1B1\)、\(2B2\)、\(3B3\)… \(B\)共有\(0\)到\(9\)共\(10\)种可能，即\(A0A\)、\(A1A\)、\(A2A\)、\(A3A\)、… 共有\(9×10=90\)个， 其中偶数为\(A\)是偶数，共\(4\)种可能，即\(2B2\)，\(4B4\)，\(6B6\)，\(8B8\)， \(B\)共有\(0\)到\(9\)共\(10\)种可能，即\(A0A\)、\(A1A\)、\(A2A\)、\(A3A\)、… 其有\(4×10=40\)个， \(\therefore\)三位数的回文数中，偶数的概率\(P=\dfrac{40}{90}=\dfrac{4}{9}\).  

【典题1】 有一个公用电话亭，里面有一部电话，在观察使用这部电话的人的流量时，设在某一时刻，有\(n\)个人正在使用电话或等待使用的概率为\(P(n)\)，且\(P(n)\)与时刻t无关，统计得到 \(P(n)=\left\{\begin{array}{l} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \cdot P(0)， 1 \leq n \leq 6 \\ 0， n \geq 7 \end{array}\right.\)，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率\(P(0)\)的值是\(\underline{\quad \quad}\)． 【解析】由题意知：本公用电话亭每次不超过\(7\)人正在使用电话或等待使用， \(\therefore\)“有\(0、1、2、3、4、5、6\)个人正在使用电话或等待使用”是必然事件， \(\therefore\)随机变量\(n\)的值可取\(0，1，2，3，4，5，6\)， 即\(p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1\) \(\therefore p(0)+\dfrac{1}{2} p(0)+\dfrac{1}{4} p(0)+\dfrac{1}{8} p(0)+\dfrac{1}{16} p(0)+\dfrac{1}{32} p(0)+\dfrac{1}{64} p(0)=1\)， \(\therefore p(0)=\dfrac{64}{127}\). 故答案为： \(\dfrac{64}{127}\)．  

【典题2】 袋中有\(12\)个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是\(\dfrac{1}{3}\)，得到黑球或黄球的概率是\(\dfrac{5}{12}\)，得到黄球或绿球的概率也是\(\dfrac{5}{12}\)，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？ 【解析】从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为\(A\) ，\(B\) ，\(C\) ，\(D\)， 则\(P(A)=\dfrac{1}{3}\)\(，P(B\cup C)=P(B)+P(C)=\dfrac{5}{12}\)， \(P(C\cup D)=P(C)+P(D)=\dfrac{5}{12}\)， \(P(B \cup C \cup D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\)， 解 \(\left\{\begin{array}{c} P(B)+P(C)=\dfrac{5}{12} \\ P(C)+P(D)=\dfrac{5}{12} \\ P(B)+P(C)+P(D)=\dfrac{2}{3} \end{array}\right.\)， 得\(P(B)=\dfrac{1}{4}\)，\(P(C)=\dfrac{1}{6}\)， \(P(D)=\dfrac{1}{4}\)， 即得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为\(\dfrac{1}{4}\)，\(\dfrac{1}{6}\)，\(\dfrac{1}{4}\).  

1(★) 将一根长为\(a\)的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是(　　)   A．必然事件 \(\qquad \qquad \qquad\) B．不可能事件 \(\qquad \qquad \qquad\) C．随机事件 \(\qquad \qquad \qquad\) D．不能判定  

2(★) 在\(1，2，3，…，10\)这\(10\)个数字中，任取\(3\)个数字，那么“这三个数字的和大于\(6\)”这一事件是(　　)   A．必然事件 \(\qquad \qquad\) B．不可能事件 \(\qquad \qquad\) C．随机事件 \(\qquad \qquad\) D．以上选项均不正确  

3(★) 下列每对事件是互斥事件的个数是(　　) (1)将一枚均匀的硬币抛\(2\)次，记事件\(A\)：两次出现正面；事件\(B\)：只有一次出现正面 (2)某人射击一次，记事件\(A\)：中靶，事件\(B\)：射中\(9\)环 (3)某人射击一次，记事件\(A\)：射中环数大于\(5\)；事件\(B\)：射中环数小于\(5\)．   A．\(0\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(1\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(3\)个  

4(★) 袋中有白球\(2\)个，红球\(3\)个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是(　　)   A．至少有一个白球；都是白球   B．两个白球；至少有一个红球   C．红球、白球各一个；都是白球   D．红球、白球各一个；至少有一个白球  

5(★) 设\(M\)、\(N\)为两个随机事件，如果\(M\)、\(N\)为互斥事件，那么(　　)   A． \(\bar{M} \cup \bar{N}\)是必然事件 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(M\cup N\)是必然事件   C．\(\bar{M}\)与\(\bar{N}\)一定为互斥事件 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\bar{M}\)与\(\bar{N}\)一定不为互斥事件  

6(★) 已知一次试验，事件\(A\)与事件\(B\)不能同时发生且 \(A\)，\(B\) 至少有一个发生，又事件\(A\)与事件\(C\)不能同时发生．若 \(P(B)=0.6\)， \(P(C)=0.2\)，则 \(P(A \cup C)=\)　 (　　)   A．\(0.6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(0.5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(0.4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(0.3\)  

7(★) 先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是\(8\)，\(7\)，\(6\)的概率依次为\(P_1\)，\(P_2\)，\(P_3\)，则(　　)  A．\(P_1=P_2