自然数

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }

正數 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} 自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} } 正整數 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 代數數 A {\displaystyle \mathbb {A} } 实数 R {\displaystyle \mathbb {R} } 複數 C {\displaystyle \mathbb {C} } 高斯整數 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}

负数 R − {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} 整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 负整數 Z − {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}} 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 I {\displaystyle \mathbb {I} } 二次無理數 艾森斯坦整数 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}

二元数 四元數 H {\displaystyle \mathbb {H} } 八元数 O {\displaystyle \mathbb {O} } 十六元數 S {\displaystyle \mathbb {S} } 超實數 ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } 大實數 上超實數

雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英语：Dual quaternion） 超复数 超數 超現實數

質數 P {\displaystyle \mathbb {P} } 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值

規矩數 可定义数 序数 超限数 p進數 数学常数

圓周率 π = 3.14159265 {\displaystyle \pi =3.14159265} … 自然對數的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828} … 虛數單位 i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}} 無限大 ∞ {\displaystyle \infty }

自然数（natural numbers）按ISO 80000-2和ISO 2382定义，指非负整数 ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , … ) {\displaystyle (0,1,2,3,4,\ldots )} [1][2]；此定义相同于集合论和计算机科学领域中，认为0属于自然数。但在数论领域中，认为0不属于自然数，因而按数论描述，自然数会同义于正整数。为免歧义，可直接以术语“非负整数”代替自然数称之。

数学中，一般以 N {\displaystyle \mathbb {N} } 代表以自然数组成的集合。自然数集是一個可數的，無上界的無窮集合。非零自然数即指正整数 ( 1 , 2 , 3 , 4 , … ) {\displaystyle (1,2,3,4,\ldots )} 。

自然数可用于计数（如：桌子上有“三”个苹果）和定序（如：国内“第三”大城市）。

数学家们使用 N {\displaystyle N} 或 N {\displaystyle \mathbb {N} } 来表示所有自然数的集合。较早的教科书也有使用 J {\displaystyle J} 来表示这一集合的情况。[3]

为了消除是否包含0的歧义，有时通过上、下标的形式表示集合中是否包含0：[4]

基于序数理论提出的皮亚诺公理可以得到自然数的许多特性，这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

其中，一个数的后继数指紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等；公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理。

在基数理论中，集合论的一般做法是将0定义為空集後，将任一非零自然数看作是所有比該數小的自然数组成的集合，即

通過無窮公理，可以得到存在一个只包含全體自然數的自然數集 N {\displaystyle \mathbb {N} } 。

另外，在此定义下，在集合 n {\displaystyle n} 内就有 n {\displaystyle n} 个元素；而若 n {\displaystyle n} 小于 m {\displaystyle m} ，则 n {\displaystyle n} 会是 m {\displaystyle m} 的子集。

自然数的集合是无限集。根据定义，这种无限称为可数无限。可以与自然数建立双射关系的所有集合都具有这种无限性，称作，这个集合的势为 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 。

自然数加法可经 a + 0 = a {\displaystyle a+0=a} 及 a + ( b + 1 ) = ( a + b ) + 1 {\displaystyle a+(b+1)=(a+b)+1} 递归定义而成。因而得出交换幺半群 ( N , + ) {\displaystyle (N,+)} ，是由 1 {\displaystyle 1} 生出的自由幺半群，其中幺元为 0 {\displaystyle 0} 。此幺半群服从消去律，可嵌入一群内：最小的是整数群。

同理，自然数乘法 × {\displaystyle \times } 可经 a × 0 = 0 {\displaystyle a\times 0=0} 及 a × ( b + 1 ) = a b + a {\displaystyle a\times (b+1)=ab+a} 得出。

而 ( N , × ) {\displaystyle (N,\times )} 亦是交换幺半群； × {\displaystyle \times } 和 + {\displaystyle +} 符合分配律：

我们说 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 当且仅当有自然数 c {\displaystyle c} 使得 a + c = b {\displaystyle a+c=b} 。 ( N , ≤ ) {\displaystyle (N,\leq )} 是一个良序集，即每个非空子集都有一个最小的自然数。

此序也和加法及乘法兼容，即若 a {\displaystyle a} ， b {\displaystyle b} 和 c {\displaystyle c} 都是自然数且 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} ，则 a + c ≤ b + c {\displaystyle a+c\leq b+c} 及 a c ≤ b c {\displaystyle ac\leq bc} 。

给定两个自然数 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} ，其中 b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} ，可找到唯一的两个自然数 q {\displaystyle q} 及 r {\displaystyle r} 使得