统计信号处理

给出基于AR模型的卡尔曼滤波股票预测。

本实验实现的是中兴通讯公司股价预测，使用AR模型预测股价，并将卡尔曼滤波应用到AR模型的预测结果上，对预测的股价进行滤波处理，可以更准确地预测股价趋势。

第一步是加载股票数据，然后将股票数据分为训练数据和预测数据，这里训练数据是前300天的股价，预测数据是301-400天的股价。

第二步是使用AR模型进行训练，使用AR模型对前300天的股价进行拟合，并使用拟合的AR模型预测接下来的100天的股价。

第三步是使用卡尔曼滤波，首先定义测量噪声协方差和过程噪声协方差矩阵，然后初始化状态转移矩阵和观测矩阵，然后分别初始化状态估计和状态估计协方差，最后使用卡尔曼滤波对状态进行迭代估计，得到估计的状态，最后将AR模型预测的股价和AR模型+卡尔曼滤波估计的股价进行比较，以观察加入卡尔曼滤波后预测股价是否得到改进。

AR模型是自回归模型，是一种统计学模型，它把当前时刻的观测值和之前时刻的观测值联系起来，而这种联系是满足自回归方程的。AR模型的数学表示为：

其中yt表示当前时刻的观测值，ϕ1、ϕ2、⋯、ϕp表示自回归系数，yt-1、yt-2、

⋯、yt-p表示前p个时刻的观测值，ϵt表示残差项，满足E(ϵt)=0和E(ϵt2)=σ2。

卡尔曼滤波（KalmanFilter）是一种基于状态空间模型的最优滤波，用于处理系统状态估计的问题，它可以对受噪声影响的随机过程进行有效的估计。卡尔曼滤波的数学原理可以用下面的公式来表示：

预测步骤：

更新步骤：

其中：xk表示状态向量，Pk表示状态向量的协方差矩阵，ϕk表示状态转移矩阵，Hk表示观测矩阵，Qk表示过程噪声协方差矩阵，Rk表示测量噪声协方差矩阵，zk表示观测值。

以中兴通讯的400天股价作为数据，前300天的股价数据用于训练模型，后100天的数据用于预测，见下图。在第301-400天的时候的AR模型预测数据为红线所示。

截取301-400天的预测区域并加入原始数据作为对比，效果如下图，可见AR模型对于股价的预测是有效果的。

从上图可知，仅使用AR模型便能够在一定程度上预测出股价。在趋势上，预测的数据与实际数据基本一致。

加入卡尔曼滤波后，预测的股价图如下图

由上图可知，经过卡尔曼滤波后的股价相较于原来的股价更加的平滑，且滤除掉了一部分噪声的干扰，一定程度上让预测的股价更加准确。

下图是经过AR模型和卡尔曼滤波后的股价预测图。

由上图可知，针对于数据进行卡尔曼滤波后，数据的平滑度变高，且对于噪声造成的预测数据误差降低，因此对于整体的预测准确度是有帮助的。

以下代码是AR模型与卡尔曼滤波的骨干代码，其余代码见附录。

AR模型与卡尔曼滤波骨干代码

model = ar(train_data, 50);

predictions = predict(model, pred_data, 100);

x_hat = x_hat_0;

P = P_0;

for i = 2:100

x_hat_minus = A * x_hat;

P_minus = A * P * A' + Q;

K = P_minus * C' / (C * P_minus * C' + R);

x_hat = x_hat_minus + K * (data1(i) - C * x_hat_minus);

P = (1 - K * C) * P_minus;

estimated_states(i) = x_hat;

end

完整代码：