19. 二元连续型随机变量，联合概率密度

定义：对于二元随机变量 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 的 分布函数 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y)，如果存在非负函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)，使对于任意 x , y x,y x,y，有

F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v )   d u d v F(x,y) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u, v)\,{\rm d}u{\rm d}v F(x,y)=∫−∞x​∫−∞y​f(u,v)dudv

称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二元连续型随机变量。

并称 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 为二元随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的 （联合）概率密度（函数）。

f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y) \geq 0 f(x,y)≥0

∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y )   d x d y = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\, {\rm d}x {\rm d}y = 1 ∫−∞+∞​∫−∞+∞​f(x,y)dxdy=1

设 D D D 是 x o y xoy xoy 平面上的区域，点 ( X , Y ) (X, Y) (X,Y) 落在 D D D 内的概率为：

P ( ( X , Y ) ∈ D ) = ∬ D f ( x , y )   d x d y P((X,Y)\in D) = \underset{D}{\iint}f(x,y) \,{\rm d}x{\rm d}y P((X,Y)∈D)=D∬​f(x,y)dxdy

例 1： 设二元随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 具有概率密度：

f ( x , y ) = { k e − ( 2 x + 3 y ) , x > 0 , y > 0 0 , 其他 f(x,y)= \begin{cases} ke^{-(2x+3y)}, & x>0,y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} f(x,y)={ke−(2x+3y),0,​x>0,y>0其他​

（1）求常数 k k k； （2）求分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)； （3）求 P ( Y ≤ X ) P(Y\leq X) P(Y≤X) 的概率。

解：（1）

1 = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y )   d x d y = ∫ 0 ∞   d x ∫ 0 ∞ k e − ( 2 x + 3 y )   d y = k ∫ 0 ∞ e − 2 x   d x ∫ 0 ∞ e − 3 y   d y = k ( − 1 2   e − 2 x ) 0 ∞ ( − 1 3   e − 3 y ) 0 ∞ = k / 6    ⟹    k = 6 \begin{aligned} 1 &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y) \, {\rm d}x{\rm d}y \\ &=\int_{0}^{\infty} \, {\rm d}x \int_{0}^{\infty} ke^{-(2x+3y)} \, {\rm d}y=k\int_{0}^{\infty}e^{-2x} \, {\rm d}x \int_{0}^{\infty} e^{-3y} \, {\rm d}y \\ &= k\left(-\cfrac{1}{2}\, e^{-2x}\right)_{0}^{\infty}\left(-\cfrac{1}{3}\, e^{-3y}\right)_{0}^{\infty} = k/6 \implies k = 6 \end{aligned} 1​=∫−∞∞​∫−∞∞​f(x,y)dxdy=∫0∞​dx∫0∞​ke−(2x+3y)dy=k∫0∞​e−2xdx∫0∞​e−3ydy=k(−21​e−2x)0∞​(−31​e−3y)0∞​=k/6⟹k=6​

前面已得：

f ( x , y ) { 6 e − ( 2 x + 3 y ) , x > 0 , y > 0 0 , 其他 f(x,y) \begin{cases} 6e^{-(2x+3y)}, & x>0, y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} f(x,y){6e−(2x+3y),0,​x>0,y>0其他​

（2）

F ( x , y ) = P ( X ≤ x , Y ≤ y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v )   d x d y = { ∫ 0 x   d u ∫ 0 y 6 e − ( 2 u + 3 v ) d v , x > 0 , y > 0 0 , 除第一象限 = { ∫ 0 x   2 e − 2 u d u ∫ 0 y 3 e − 3 v d v , x > 0 , y > 0 0 , 其他 = { ( 1 − e − 2 x ) ( 1 − e − 3 y ) x > 0 , y > 0 0 , 其他 \begin{aligned} F(x,y) &= P(X\leq x, Y\leq y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} f(u,v) \, {\rm d}x{\rm d}y \\ &=\begin{cases} \int_{0}^{x}\,{\rm d}u\int_{0}^{y}6e^{-(2u+3v)}{\rm d}v, & x>0,y>0 \\ 0, & \text{除第一象限} \end{cases} \\ &=\begin{cases} \int_{0}^{x}\,2e^{-2u}{\rm d}u\int_{0}^{y}3e^{-3v}{\rm d}v, & x>0,y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \\ &=\begin{cases} (1-e^{-2x})(1-e^{-3y}) & x>0,y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \end{aligned} F(x,y)​=P(X≤x,Y≤y)=∫−∞x​∫−∞y​f(u,v)dxdy={∫0x​du∫0y​6e−(2u+3v)dv,0,​x>0,y>0除第一象限​={∫0x​2e−2udu∫0y​3e−3vdv,0,​x>0,y>0其他​={(1−e−2x)(1−e−3y)0,​x>0,y>0其他​​

前面已得：

f ( x , y ) { 6 e − ( 2 x + 3 y ) , x > 0 , y > 0 0 , 其他 f(x,y) \begin{cases} 6e^{-(2x+3y)}, & x>0, y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} f(x,y){6e−(2x+3y),0,​x>0,y>0其他​

(3)

P ( Y ≤ X ) = ∬ y ≤ x f ( x , y )   d x d y = ∫ 0 ∞   d y ∫ y ∞ 6 e − ( 2 x + 3 y )   d x = ∫ 0 ∞ 3 e − 3 y e − 2 y   d y = ∫ 0 ∞ 3 e − 5   d y = − 3 5 e − 5 y ∣ 0 ∞ = 3 5 \begin{aligned} P(Y\leq X) &= \underset{y\leq x}{\iint}f(x,y) \,{\rm d}x{\rm d}y \\ &=\int_{0}^{\infty}\,{\rm d}y \int_{y}^{\infty}6e^{-(2x+3y)} \,{\rm d}x \\ &= \int_{0}^{\infty}3e^{-3y}e^{-2y}\,{\rm d}y \\ &= \int_{0}^{\infty}3e^{-5} \,{\rm d}y = -\cfrac{3}{5} e^{-5y} |_{0}^{\infty} = \cfrac{3}{5} \end{aligned} P(Y≤X)​=y≤x∬​f(x,y)dxdy=∫0∞​dy∫y∞​6e−(2x+3y)dx=∫0∞​3e−3ye−2ydy=∫0∞​3e−5dy=−53​e−5y∣0∞​=53​​