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一、函数1 函数1.1 函数的定义1.2 函数的性质1.2.1 有界性1.2.2 单调性1.2.3 周期性1.2.4 奇偶性
1.3 复合函数1.4 反函数1.5 隐函数
2 基本初等函数及初等函数2.1 基本初等函数2.1.1 幂函数2.1.2 指数函数2.1.3 对数函数2.1.4 三角函数2.1.5 反三角函数
2.2 初等函数
3 常用函数3.1 绝对值函数3.2 符号函数3.3 取整函数3.4 狄利克雷函数3.5 最值函数3.6 变积分上限函数
一、函数
1 函数
1.1 函数的定义
设x和y是两个变量(均在实数集R内取值)，D是一个给定的非空数集，如果对于每个数x∈D，按照某个对应法则f，变量y都有唯一确定的数值和它对应，则称变量y是变量x的函数，记作y=f(x)。其中D称为函数y=f(x)的定义域，x称为自变量，y称为因变量。函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域。 1.2 函数的性质 1.2.1 有界性设y=f(x)在区间I上有定义，如果存在正数M，对于任意x∈I，恒有|f(x)|≤M，则称y=f(x)在区间I上有界；否则称为无界。 如果存在实数M1，对于任意x∈I，恒有f(x)≤M1，则称y=f(x)在区间I上有上界； 如果存在实数M2，对于任意x∈I，恒有f(x)≥M2，则称y=f(x)在区间I上有下界； y=f(x)在区间I上有界⟺既有上界又有下界。 1.2.2 单调性设y=f(x)在区间I上有定义，如果∀x1，x2∈I，当x1
0
,
a
≠
1
)
y=a^x,(a>0,a\neq1)
y=ax,(a>0,a=1)
y
=
log
a
x
,
(
a
>
0
,
a
≠
1
)
y=\log_a x,(a>0,a\neq1)
y=logax,(a>0,a=1)  余弦函数
y
=
cos
x
,
x
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
,
y
∈
[
−
1
,
1
]
,
T
=
2
π
y=\cos x,x\in(-\infty,+\infty),y\in[-1,1],T=2π
y=cosx,x∈(−∞,+∞),y∈[−1,1],T=2π  正切函数
y
=
tan
x
,
x
∈
{
x
∣
x
≠
K
π
±
π
2
,
K
∈
Z
}
,
y
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
,
T
=
π
y=\tan x,x\in\{x|x\neq Kπ \pm \frac{π}{2},K \in Z\},y\in(-\infty,+\infty),T=π
y=tanx,x∈{x∣x=Kπ±2π,K∈Z},y∈(−∞,+∞),T=π  余切函数
y
=
cot
x
,
x
∈
{
x
∣
x
≠
K
π
,
K
∈
Z
}
,
y
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
,
T
=
π
y=\cot x,x\in\{x|x\neq Kπ ,K \in Z\},y\in(-\infty,+\infty),T=π
y=cotx,x∈{x∣x=Kπ,K∈Z},y∈(−∞,+∞),T=π  正割函数
y
=
sec
x
=
1
cos
x
,
x
∈
{
x
∣
x
≠
K
π
±
π
2
,
K
∈
Z
}
,
y
∈
(
−
∞
,
1
]
∪
[
1
,
+
∞
)
,
T
=
2
π
y=\sec x=\frac{1}{\cos x},x\in\{x|x\neq Kπ \pm \frac{π}{2},K \in Z\},y\in(-\infty,1]\cup[1,+\infty),T=2π
y=secx=cosx1,x∈{x∣x=Kπ±2π,K∈Z},y∈(−∞,1]∪[1,+∞),T=2π  余割函数
y
=
csc
x
=
1
sin
x
,
x
∈
{
x
∣
x
≠
K
π
,
K
∈
Z
}
,
y
∈
(
−
∞
,
1
]
∪
[
1
,
+
∞
)
,
T
=
2
π
y=\csc x=\frac{1}{\sin x},x\in\{x|x\neq Kπ ,K \in Z\},y\in(-\infty,1]\cup[1,+\infty),T=2π
y=cscx=sinx1,x∈{x∣x=Kπ,K∈Z},y∈(−∞,1]∪[1,+∞),T=2π 
2.1.5 反三角函数
反正弦函数
y
=
arcsin
x
,
x
∈
[
−
1
,
1
]
,
y
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
y=\arcsin x,x\in[-1,1],y\in[-\frac{π}{2},\frac{π}{2}]
y=arcsinx,x∈[−1,1],y∈[−2π,2π]  反余弦函数
y
=
arccos
x
,
x
∈
[
−
1
,
1
]
,
y
∈
[
0
,
π
]
y=\arccos x,x\in[-1,1],y\in[0,π]
y=arccosx,x∈[−1,1],y∈[0,π]  反正切函数
y
=
arctan
x
,
x
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
,
y
∈
(
−
π
2
,
π
2
)
y=\arctan x ,x\in(-\infty,+\infty),y\in(-\frac{π}{2},\frac{π}{2})
y=arctanx,x∈(−∞,+∞),y∈(−2π,2π)  反余切函数
y
=
a
r
c
c
o
t
x
,
x
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
,
y
∈
(
0
,
π
)
y=arccotx,x\in(-\infty,+\infty),y\in(0,π)
y=arccotx,x∈(−∞,+∞),y∈(0,π) 
2.2 初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合运算所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数。 3 常用函数 3.1 绝对值函数y = ∣ x ∣ = { x , 当 x ≥ 0 − x , 当 x < 0 y=|x|=\left\{\begin{aligned}x \,\,\, , 当x\geq0\\ -x,当x0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,,当x=0 \\-1\,\,\,\,,当x00,当x=0−1,当x |
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