2020美赛F奖论文（二）：传球网络模型（PNM）的建立和影响因子分析

上接：2020美赛F奖论文（一）：摘要、绪论和模型准备 全文：

为了构造结构化的传球网络，用来分析球员间传球配合的默契程度，应在不同多维度、状态变化情况下进行分析。例如从微观上两两球员之间的行为，到宏观上多个球员之间的行为；以及时间尺度从比赛中的单位时刻到整个赛季。

两人传球评价指数 PassValue ( p i , p j ) \text{PassValue}(p_{i}, p_{j}) PassValue(pi​,pj​)，用于评价两人配合程度。在一场球赛中，宏观来看，球员相对于球场可以视为一个个节点，球场可以视为一个网络，每一次传球可以视为节点之间的连线。以两人之间每次传球累计评价 P assValue ( p i ,   p j ) P\text{assValue}\left( p_{i},\ p_{j} \right) PassValue(pi​, pj​)作为2人的传球评价指数。在多人传球评价体系中，将三个节点连接成闭合环路，边权之和即为3人传球评价指数。

PassValue ( p i , p j , p k ) =  EdgeValue ( i , j ) + EdgeValue ( i , k ) + E dgeValue ( j , k ) \text{Pass}\text{Value}\left( p_{i},p_{j},p_{k} \right) = \ \text{EdgeValue}\left( i,j \right) + \text{EdgeValue}\left( i,k \right) + E\text{dgeValue}\left( j,k \right) PassValue(pi​,pj​,pk​)= EdgeValue(i,j)+EdgeValue(i,k)+EdgeValue(j,k)

通过生活经验和数据挖掘所发现的规律可以构建PEI计算模型：

α i  is constant for  i  in Pass Types . \alpha_{i}\ \text{is}\ \text{constant}\ \text{for}\ i\ \text{in}\ \text{Pass}\ \text{Types}. αi​ is constant for i in Pass Types.

DefPress ( p i ) = 1 − 1 2 tan ⁡ [ 11 6 × ( x p i 100 − 0.6 ) ] \text{Def}\text{Press}\left( p_{i} \right) = 1 - \frac{1}{2}\tan{\lbrack\frac{11}{6} \times (\frac{x_{p_{i}}}{100} - 0.6)\rbrack} DefPress(pi​)=1−21​tan[611​×(100xpi​​​−0.6)]

其中，x为球员到对方球门的横坐标，与受到的防守压力成负相关

{ EdgeValue ( i , j ) = P assValue ( p i ,   p j ) P assValue ( p i ,   p j ) = ∑ i  in Pass α i ∗ ( DefPress ( p i − from ) ∗ 0.3 + DefPress ( p i − to ) ∗ 0.7 )   \left\{ \begin{matrix} \text{EdgeValue}\left( i,j \right) = P\text{assValue}\left( p_{i},\ p_{j} \right) \\ P\text{assValue}\left( p_{i},\ p_{j} \right) = \sum_{i\ \text{in}\ \text{Pass}}^{}{\alpha_{i}*\left( \text{Def}\text{Press}\left( p_{i - \text{from}} \right)*0.3 + \text{Def}\text{Press}\left( p_{i - \text{to}} \right)*0.7 \right)} \\ \end{matrix} \right.\ {EdgeValue(i,j)=PassValue(pi​, pj​)PassValue(pi​, pj​)=∑i in Pass​αi​∗(DefPress(pi−from​)∗0.3+DefPress(pi−to​)∗0.7)​ 

根据这一传球评价指数模型，统计出一定时间范围内所有参与比赛的 N N N个球员的邻接矩阵数据 Arr \text{Arr} Arr。由 Arr [ i ,   j ] = P assValue ( p i ,   p j ) \text{Arr}\left\lbrack i,\ j \right\rbrack = P\text{assValue}\left( p_{i},\ p_{j} \right) Arr[i, j]=PassValue(pi​, pj​)得每两人之间所有传球价值评价总和图:

网络上两两球员之间的联系，宏观上体现为球员间传球的评价总和。筛选两人传球评价超过一定阈值的边，运用图论的方法选择性剔除交叉边，将基于传球评价指数构建的line-up传球网络可视化，用线的深浅表示 P assValue ( p i ,   p j ) P\text{assValue}\left( p_{i},\ p_{j} \right) PassValue(pi​, pj​)：

{ lig h ter , P assValue ( p i ,   p j )  is less deeper , P assValue ( p i ,   p j ) is more   \left\{ \begin{matrix} \text{lig}h\text{ter},P\text{assValue}\left( p_{i},\ p_{j} \right)\ \text{is}\ \text{less} \\ \text{deeper},P\text{assValue}\left( p_{i},\ p_{j} \right)\text{is}\ \text{more} \\ \end{matrix} \right.\ {lighter,PassValue(pi​, pj​) is lessdeeper,PassValue(pi​, pj​)is more​ 

Color Pass ( i , j ) = Palette ( P assValue ( p i ,   p j ) − ⁡ P assValue ( p a ,   p b ) ⁡ P assValue ( p a ,   p b ) − ⁡ P assValue ( p a ,   p b ) ) \text{Color}_{\text{Pass}}\left( i,j \right) = \text{Palette}\left( \frac{P\text{assValue}\left( p_{i},\ p_{j} \right) - \operatorname{}{P\text{assValue}\left( p_{a},\ p_{b} \right)}}{\operatorname{}{P\text{assValue}\left( p_{a},\ p_{b} \right)} - \operatorname{}{P\text{assValue}\left( p_{a},\ p_{b} \right)}} \right) ColorPass​(i,j)=Palette(PassValue(pa​, pb​)−PassValue(pa​, pb​)PassValue(pi​, pj​)−PassValue(pa​, pb​)​)

从这一模型的可视化中，我们可以直观地分析传球配合频繁和默契地球员，还可以直观的看出主力球员中多人传球配合的组合。

传球频率会在时间尺度上进行波动。定义 Passe s ( 0 , t ) \text{Passe}s\left( 0,t \right) Passes(0,t)

Passes ( 0 , t )  is  t h e  sum of passes before  t . \text{Passes}\left( 0,t \right)\ \text{is}\ the\ \text{sum}\ \text{of}\ \text{passes}\ \text{before}\ t. Passes(0,t) is the sum of passes before t.

并以 Passe s ( 0 , t ) \text{Passe}s\left( 0,t \right) Passes(0,t)作为球队实时状态的指标。球赛刚开始时，球员身体还未warm up，导致传球概率密度较小，5—10分钟过后，传球效率逐渐提高并大致趋于稳定，即：

{ Passe s ′ ( 0 , t ) > 0 Passe s ′ ′ ( 0 , t ) < 0 ⁡ Passes ( 0 , t ) = P 0 t 0 < Halftime 2   \left\{ \begin{matrix} \text{Passe}s^{'}\left( 0,t \right) > 0 \\ \text{Passe}s^{''}\left( 0,t \right) < 0 \\ \operatorname{}\text{Passes}\left( 0,t \right) = P_{0} \\ t_{0} < \frac{\text{Halftime}}{2} \\ \end{matrix} \right.\ ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​Passes′(0,t)>0Passes′′(0,t) Halftime 2   \left\{ \begin{matrix} \text{Passe}s^{'}\left( 0,t \right) < 0 \\ \text{Passe}s^{''}\left( 0,t \right) > 0 \\ \operatorname{}\text{Passes}\left( 0,t \right) = P_{1} < P_{0} \\ t_{0} > \frac{\text{Halftime}}{2} \\ \end{matrix} \right.\ ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​Passes′(0,t)0Passes(0,t)=P1​2Halftime​​ 

纵观整个赛季中38场球赛球员们的传球频率密度，整体上看可以与单场球赛所展示出的频率密度变化趋势相同。以时间为横坐标，成功传球密度为纵坐标作图：

Passes ( t 1 , t 2 ) = ∫ t 2 t 1 PassDiv ( t ) dt \text{Passes}\left( t_{1},t_{2} \right) = \int_{t_{2}}^{t_{1}}{\text{PassDiv}\left( t \right)\text{dt}} Passes(t1​,t2​)=∫t2​t1​​PassDiv(t)dt

总体来说，传球的密度在时间尺度上相对稳定。若使用Monte Carlo方法对每次传球进行模拟，设定在上一次传球后下一次传球还需要的时间概率分布服从 N ( θ , 1 ) N\left( \theta,1 \right) N(θ,1)，其中 θ \theta θ为统计的平均传球间隔时间，则在样本规模 N N N满足 ⁡ N ≈ 2 \operatorname{}N \approx 2 N≈2时会近似与左图的分布；随着样本规模增加，当满足 ⁡ N > 4 \operatorname{}N > 4 N>4后则会近似与右图的分布。因此我们可以认为每一个时间点发生传球事件的概率服从 N ( 0 , 1 ) N\left( 0,1 \right) N(0,1)。

下接：2020美赛F奖论文（三）：足球团队指标和基于机器学习的球队表现预测 全文：