如何理解 95% 置信区间

科技论文里经常会出现【95%CI】的评价，这个评价到底有什么意义，他和 68-95-99.7 法则的关系是什么，可能很多人没有清楚的理解，包括之前写论文评价 95%CI 的自己。

理解【95%CI 置信区间】的含义，以及他和 【68-95-99.7% 法则 】的关系。

首先明白置信区间的定义是什么：

在统计学中，一个概率样本的置信区间（英语：Confidence interval，CI），是对产生这个样本的总体的参数分布（Parametric Distribution）中的某一个未知参数值，以区间形式给出的估计。相对于点估计（Point Estimation）用一个样本统计量来估计参数值，置信区间还蕴含了估计的精确度的信息。 1

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这里假设有 10 个人的体重作为总体参数，选 5 个人作为一组抽样标本，来评价他们的平均值。10 个人的体重分别如下表

我们可以知道总体参数的平均值为 65.17 从这 10 个人的总体参数里，取出 5 个人作为抽样标本并计算其平均值。

结果可以知道，任意一组标本跟总体平均都不一致。 我们不能用标本的 点推测 来推测总体数据的平均值。 当然，很多人会说这理所应当的，这也是总所周知的事实。

一组抽样标本，他的平均值并不能代表总体数据的平均值

换个思想，更简单的话就是： 当我们在实验室对 10 台复合钢做材料实验，能获得这一组强度数据，并进行数据整理的时候，得到的是这一组标本的数据。不能代表这个复合钢全体的数据，如何通过这组标本获得的数据，来推测复合钢的性质，这时我们可能就需要用 区间推测 来评价复合钢的强度。

这个时候我们就可以说，复合钢强度平均值是在这个 区间范围 以内，这个平均值不用点表示，而用 区间 来表示。

进入正题，论文里经常能看到的 95% 置信区间（95% Confidence Interval; 95%CI）到底代表了什么意思。

95% 置信区间是通过标本数据平均值对总体平均值的区间推测指标

知道了 95% 置信区间表示了什么意思之后，来看看置信区间是怎么通过计算获得的。要理解 95%CI，首先我们得先理解标准误差（Standard Error; SE）。

标准误差 SE 和标准偏差 SD 很相似。 注意不要搞混淆，这里有说明他们的区别。

简单的说 标准误差 S E = 标准偏差 S D n 标 准 误 差 SE = \frac{ 标 准 偏 差SD }{\sqrt{n}} 标准误差SE=n ​标准偏差SD​

这里的 n 代表实验体个数。

这里可以看出，实验体个数越多，SE 就越小

举个简单的例子 假如想知道 20 岁的平均身高。 这个时候研究组 A 随机抽取了 50 个人获得了数据，研究组 B 随机抽取了 1000 个人获得了数据。 但是这两组数据测得了完全一样的数据：平均值为 165cm，标准偏差为 20。 我们如何评价研究组 A 和 B 的数据，能认为他们两组数据一模一样吗。

这个时候大家凭感觉也知道抽取 1000 个人的研究组 B 的可靠性比较高。

从上面的数据我们可以看出 离散程度完全一样的两组数据中，样本数的多少所表达出的对数据的可靠程度也不一样。 这里我们可以得出重要的结论：

标准偏差代表了一组数据的离散程度，而标准误差代表了这个平均值的可靠程度。

通过上面的结论，我们知道了标准误差 SE 可以代表了平均值的可靠程度，意味着我们可以通过标准误差来推测总体数据的平均值。 理解了标准误差 SE，95%CI 也能很好的理解。 数据服从正太分布的时候，95%CI 可以通过如下式子计算获得：

95%CI=1.96*SE

所以 95% 置信区间为：平均值 ±1.96SE

为什么是 1.96 的系数怎么计算，核心思想是跟【68-95-99.7 法则】是一样的， 是通过对概率密度函数积分所获得。 首先，我们获得了总体数据里的一组样本，我们可以从中计算出其平均值。 假定有多个样本有分别不同的平均值，此时我们就可以得到总体数据对于平均值的分布。 当我们把样本的平均值，当作一组样本里的一个数据时。我们就可以用正太分布的性质来评价样本的平均值。也就是 n 组样本里大约有 68% 的平均值落在总体样本里的 平均值 ±SE 的范围里。95.5% 的平均值落在 平均值 ±2SE 的范围里。

所以 95% 的置信区间为 平均值 μ ± 1.96SE

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