【数字逻辑】学习笔记 第四章 组合逻辑电路

数字逻辑电路

组合电路特点

主要内容

组合逻辑电路：输出跟随输入的变化

逻辑关系： F 1 = f 1 ( X 1 , X 2 , . . . , X m ) F 2 = f 2 ( X 1 , X 2 , . . . , X m ) F n = f n ( X 1 , X 2 , . . . , X m ) \begin{aligned} F_1 &= f_1(X_1,X_2,...,X_m)\\ F_2 &= f_2(X_1,X_2,...,X_m)\\ F_n &= f_n(X_1,X_2,...,X_m)\\ \end{aligned} F1​F2​Fn​​=f1​(X1​,X2​,...,Xm​)=f2​(X1​,X2​,...,Xm​)=fn​(X1​,X2​,...,Xm​)​

组合电路的特点: :

分析目的

组合逻辑电路的级数：输入信号从输入端到输出端所经历的逻辑门的最大数目

例1：试分析下图所示逻辑电路的功能。 解 ： 该电路为二级组合电路。 (1) 写出电路的逻辑表达式 F = A + B ‾ + A B ‾ = ( A + B ) ( A ‾ + B ‾ ) = A ‾ B + A B ‾ \begin{aligned} F &= \overline {\overline {A+B} + AB}\\ &= (A+B)(\overline A + \overline B)\\ &= \overline AB + A\overline B \end{aligned} F​=A+B​+AB​=(A+B)(A+B)=AB+AB​ (2) 描述电路的逻辑功能：该函数表达式比较简单，不用列真值表，由表达式可知此电路是一个异或电路 。

例2 ：试分析图中所示逻辑电路的功能。 (1) 写出电路的逻辑表达式 F = F 1 ⋅ F 2 ⋅ F 3 ‾ = A B ‾ ⋅ B C ‾ ⋅ A C ‾ ‾ = A B + B C ‾ + A C \begin{aligned} F&=\overline {F_1 \cdot F_2 \cdot F_3}\\ &=\overline {\overline {AB} \cdot \overline {BC} \cdot \overline {AC}}\\ &= AB +B\overline C+AC \end{aligned} F​=F1​⋅F2​⋅F3​​=AB⋅BC⋅AC=AB+BC+AC​ (2) 列真值表 (3) 描述电路的逻辑功能：

因此，该电路为少数服从多数电路，也称多数表决电路。

例3：试分析图中所示电路逻辑，写出表达式。 (1) 写出电路的逻辑表达式 G 3 = B 3 G 2 = B 3 ⊕ B 2 G 1 = B 2 ⊕ B 1 G 0 = B 1 ⊕ B 0 \begin{aligned} G_3 &= B_3\\ G_2 &= B_3 \oplus B_2\\ G_1 &= B_2 \oplus B_1\\ G_0 &= B_1 \oplus B_0 \end{aligned} G3​G2​G1​G0​​=B3​=B3​⊕B2​=B2​⊕B1​=B1​⊕B0​​ (2) 列写真值表 (3) 描述电路的逻辑功能：自然二进制码到格雷码的转换电路。

设计目标：

最优标准：

设计方法

例1 在举重比赛中，有两名副裁判，一名主裁判。 当两名以上裁判(必须包括主裁判在内)认为运动员上举杠铃合格，按动电钮，裁决合格信号灯亮，则该运动员成绩有效。试设计该电路。 解： （1）确定输入输出：根据题意，有 3 3 3 个输入变量， 1 1 1 个输出变量。设 3 3 3 个输入变量分别为 A A A、 B B B、 C C C，其中 A A A 表示主裁判输入： 1 1 1 表示同意， 0 0 0 表示不同意；设输出变量为 F F F，输出： 1 1 1 表示通过， 0 0 0 表示不通过。

（2）列出真值表 （3）由真值表写出表达式 F = A B ‾ C + A B C ‾ + A B C F = A\overline BC + AB\overline C +ABC F=ABC+ABC+ABC （4）化简表达式 F = A B ‾ C + A B C ‾ + A B C = A B ‾ C + A B ( C + C ‾ ) = A B ‾ C + A B = A ( B + B ‾ C ) = A ( B + C ) = A B + A C \begin{aligned} F &= A\overline BC + AB\overline C +ABC\\ &=A\overline BC + AB(C +\overline C)\\ &= A\overline BC+ AB\\ &= A(B+\overline BC)\\ &= A(B+C)\\&= AB +AC \end{aligned} F​=ABC+ABC+ABC=ABC+AB(C+C)=ABC+AB=A(B+BC)=A(B+C)=AB+AC​

（5）画出逻辑电路图 F = A B + A C F=AB+AC F=AB+AC

同一个电路可用不同的逻辑门来实现，需要根据所用的逻辑门对化简后的逻辑函数进行变形处理。 除了基本逻辑门电路之外，常用的逻辑门电路有与非门、或非门、与或非门等。

方法1：用与门、或门实现：

方法2：用与非门实现：与非-与非表达式: F = A B + A C = A B + A C ‾ ‾ = A B ‾ ⋅ A C ‾ ‾ F=AB+AC = \overline{ \overline { AB +AC}} = \overline {\overline {AB} \cdot \overline {AC}} F=AB+AC=AB+AC​​=AB⋅AC

方法3：用或非门实现： F = A B + A C = A B + A C ‾ ‾ = A ( B + C ) ‾ ‾ = A ‾ + B + C ‾ ‾ = A + A ‾ + B + C ‾ ‾ F = AB+AC = \overline{ \overline { AB +AC}} = \overline{ \overline { A(B +C)}} = \overline{ \overline A + \overline { B +C}} = \overline{ \overline {A+A} + \overline{ B +C}} F=AB+AC=AB+AC​​=A(B+C)​​=A+B+C​​=A+A​+B+C​​ 通过卡诺图求或非 - 或非表达式： 圈 0 0 0 ，得到或-与表达式 F = ( B + C ) A F=(B+C)A F=(B+C)A；将或-与表达式两次求非 F = ( B + C ) A ‾ ‾ F = \overline {\overline {(B+C)A}} F=(B+C)A​​；通过公式法求或非-或非表达式 F = B + C ‾ + A ‾ ‾ F=\overline {\overline{B+C}+\overline A} F=B+C​+A​。

例2：设计一个可以实现 4 4 4 位 格雷码和 4 4 4 位二进制编码的相互转换电路，有一个控制端 S S S：当 S = 1 S=1 S=1 时，可以将输入的 4 4 4 位格雷码转换成 4 4 4 位二进制编码；当 S = 0 S=0 S=0 时，实现将输入的 4 4 4 位二进制编码转换成 4 4 4 位格雷码。 解 （1）确定输入输出：根据题意，有 5 5 5 个输入变量， 4 4 4 个输出变量。 5 5 5 个输入变量分别为控制变量 S S S 和 4 4 4 位输入码（格雷码或者 4 4 4 位二进制码）；输出变量为 4 4 4 位输出码（ 4 4 4 位二进制码或者格雷码）。

（2）列出真值表 （3）根据卡诺图写函数表达式 本题涉及 5 5 5 个变量，采用卡诺图化简逻辑表达式比较麻烦。为了减少变量个数，可以分为 S = 0 S=0 S=0 和 S = 1 S=1 S=1 两种情况来处理。

S = 0 S=0 S=0 时真值表： 可以得到： G 3 = B 3 G_3 = B_3 G3​=B3​；

S = 0 S=0 S=0 时真值表： 可以得到： G 2 = B 3 ‾ B 2 + B 3 B 2 ‾ = B 3 ⊕ B 2 G_2 = \overline {B_3} B_2 + B_3 \overline{B_2} = B_3 \oplus B_2 G2​=B3​​B2​+B3​B2​​=B3​⊕B2​。

S = 0 S=0 S=0 时真值表： 可以得到 G 1 = B 2 ‾ B 1 + B 2 B 1 ‾ = B 2 ⊕ B 1 G_1 = \overline {B_2}B_1 + B_2\overline{B_1} = B_2\oplus B_1 G1​=B2​​B1​+B2​B1​​=B2​⊕B1​。

S = 0 S=0 S=0 时真值表： 可得： G 0 = B ‾ 1 B 0 + B 1 B ‾ 0 = B 1 ⊕ B 0 G_0 = \overline B_1B_0 + B_1\overline B_0 = B_1 \oplus B_0 G0​=B1​B0​+B1​B0​=B1​⊕B0​ 。

S = 1 S=1 S=1 时真值表： 则 G 3 = B 3 G_3 = B_3 G3​=B3​ 。

S = 1 S=1 S=1 时真值表： G 2 = B 3 ‾ B 2 + B 3 B 2 ‾ = B 3 ⊕ B 2 G_2 = \overline {B_3} B_2 + B_3 \overline{B_2} = B_3 \oplus B_2 G2​=B3​​B2​+B3​B2​​=B3​⊕B2​。

S = 1 S=1 S=1 时真值表：

S = 1 S=1 S=1 时 真值表

（4）画出逻辑电路图

1.试写出习题图所示组合逻辑电路的输出逻辑表达式，并画出与之功能相同的简化逻辑电路。 解：输出逻辑表达式如下： F = ( A ‾ + B ‾ + C ) ⋅ A + B C = ( A ⋅ B ‾ + C ) ⋅ A + B C = A B ‾ + A C + B C = A B ‾ + B C + A ( B + B ‾ ) C = A B ‾ + B C + A B C + A B ‾ C = A B ‾ + B C \begin{aligned} F &= (\overline {\overline A+B} + C) \cdot A + BC \\ &= (A\cdot \overline B + C) \cdot A + BC\\ &= A\overline B + AC +BC\\ &= A\overline B + BC + A(B + \overline B)C\\ &= A\overline B +BC + ABC + A\overline BC\\ &= A\overline B + BC \end{aligned} F​=(A+B​+C)⋅A+BC=(A⋅B+C)⋅A+BC=AB+AC+BC=AB+BC+A(B+B)C=AB+BC+ABC+ABC=AB+BC​ 与之功能相同的简化逻辑电路： 2.试分析习题图所示组合逻辑电路的功能，并用数量最少、品种最少的门电路实现。

解：可得 F = ( A B + A + B ‾ ‾ ) ⋅ C ‾ +   ( A B + A + B ‾ ) ⋅ C ‾ = ( A B + A + B ‾ ) ⊙ C ‾ = ( A B + A + B ‾ ) ‾ ⊕ C ‾ = ( A ‾ + B ‾ ) ⋅ ( A + B ) ⊕ C ‾ = ( A ‾ B + A B ‾ ) ⊕ C ‾ = A ⊕ B ⊕ C ‾ \begin{aligned} F&= \overline {(\overline {AB + \overline {A+B}}) \cdot \overline C +\ (AB+\overline {A+B}) \cdot C}\\ &= \overline {(AB + \overline {A+B})\odot C}\\ &= \overline { (AB+\overline {A+B})} \oplus \overline C\\ &= (\overline A+\overline B) \cdot (A+B) \oplus \overline C\\ &=(\overline AB+A\overline B) \oplus \overline C\\ &= A \oplus B \oplus \overline C \end{aligned} F​=(AB+A+B​​)⋅C+ (AB+A+B​)⋅C​=(AB+A+B​)⊙C​=(AB+A+B​)​⊕C=(A+B)⋅(A+B)⊕C=(AB+AB)⊕C=A⊕B⊕C​ 列出真值表如下：

从真值表可以看出，这个电路是判断三个输入中 0 0 0 信号是否为奇数个，是则结果为 1 1 1，否则结果为 0 0 0 。可以用非门和异或门进行电路简化：

3.设 A , B , C A,B,C A,B,C 为某保密锁的三个按键，当 A A A 被单独按下时，锁既不打开也不报警，只有当 A , B , C A,B,C A,B,C，或者 A , B A,B A,B，或者 A , C A,C A,C 分别同时按下时，锁才能被打开；当不符合上述组合状态时，将发出报警信息，试用门电路实现此保密锁电路。

解：设三个按键 A , B , C A,B,C A,B,C 为输入量，按下为 1 1 1，不按下为 0 0 0；设 Y , G Y,G Y,G 分别为打开信号和报警信号，打开为 1 1 1，不打开为 0 0 0，报警为 1 1 1，不报警为 0 0 0。 真值表如下：

根据真值表写表达式并化简： F = A B ‾ C + A B C ‾ + A B C = A B ‾ C + A B = A ( B ‾ C + B ) = A ( B + B ‾ ) ⋅ ( B + C ) = A B + A C G = A ‾   B ‾ C + A ‾ B C ‾ + A ‾ B C = A ‾   B ‾ C + A ‾ B = A ‾ ( B ‾ C + B ) = A ‾ ( B + B ‾ ) ⋅ ( B + C ) = A ‾ B + A ‾ C \begin{aligned} F &= A\overline BC + AB\overline C + ABC\\ &= A\overline BC + AB\\ &=A(\overline BC+B)\\ &= A(B +\overline B) \cdot (B + C)\\ &= AB + AC\\ G &= \overline A\ \overline BC + \overline AB\overline C + \overline A BC\\ &=\overline A\ \overline BC +\overline AB\\ &= \overline A(\overline BC+B)\\ &= \overline A(B +\overline B) \cdot (B + C)\\ &= \overline AB + \overline AC \end{aligned} FG​=ABC+ABC+ABC=ABC+AB=A(BC+B)=A(B+B)⋅(B+C)=AB+AC=A BC+ABC+ABC=A BC+AB=A(BC+B)=A(B+B)⋅(B+C)=AB+AC​ 用与门、或门和非门实现如下：