自动控制原理“轨迹圆”若干问题的探讨

对自动控制原理中圆形根轨迹和圆形奈奎斯特图(Nyquist Plot)的讨论

一、根轨迹为圆的问题

（1）一个零点和两个极点

如果开环传递函数有一个零点、两个极点，可以证明它的在复平面上的闭环根轨迹为圆或圆的一部分。以下以一个引例展开。

其根轨迹如图所示

（2）两个零点和两个极点

两个零点和两个极点在复平面上的情况，它的根轨迹可能是圆或圆的一部分，看引例

看上去不太像，可以试做一下附题2

这里直接给出根轨迹图

（3）两个零点和一个极点（非正则系统）

以上两个情况都是实际系统可以存在的正则系统，即极点数不小于零点数

这种情况只做纯数学讨论，还是刚才的一个例子

现在，matlab竟然支持非正则系统输入，着实让我大吃一惊

大家可以尝试一下，看看自己的matlab版本是否可以

我记错了，matlab语言下一直是可以的，但是simulink里面的模块（Transfer Function）是不支持的

上图与情况1根轨迹是重合的，可以自行体会

关于根轨迹什么时候会是圆的，以上三种情况已经给出例子证明了的。不过，要想得到更一般化的结论，我只能给出一个基本的假设（必要条件）：

开环传递函数的阶次不能超过2，且零点和极点个数至少一个为2。

在这个基础上，如果继续讨论的话。有两个方向可以考虑：

零极点的相对位置（包括在实轴上和在实轴）

闭环特征方程处于实质的正反馈还是负反馈

关于2，这个决定我们绘制的是零度根轨迹还是180°根轨迹，它们绘制规则有所不同。

以上讨论，如果基于纯数学解析、讨论，计算上可能会比较复杂，感兴趣可以从特殊例子入手，不过还是难以得出一般化的结论。

关于圆形根轨迹的问题，暂时讨论于此，期待有人能完善这部分的工作。

二、奈氏图为圆的问题

（1）惯性环节（最小相位系统）

典型的一阶惯性环节

（2）惯性环节（非最小相位系统）

对于非最小相位系统的一阶惯性环节，直接给出以下证明

下面给出几例自动控制原理真题，以飨读者，不再赘述

附题1

附题2