第九讲  根轨迹法

反馈系统（线性时不变系统）的稳定性由其闭环极点唯一确定。反馈系统的闭环极点就是该系统特征方程的根。最简单的判稳方法是求特征方程的特征根，如果所有特征根都是负的，那么系统肯定是稳定的。对于一阶、二阶系统而言，很简单，用求根公式解出来就行了；但是，对于高阶系统，如三阶、四阶的，用求根公式的方法行不通，求根过程会变得十分复杂，特别是在系统参数变化情况下求根，更是需要进行大量的运算，而且还不宜直观看出参数变化对系统闭环极点分布的影响。

有鉴于此，1948年，伊凡思(W.R.Evans)提出了一种图解反馈系统特征方程的工程方法，该法称为根轨迹法。

它不直接求解特征方程，而是用图解法来确定系统的闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹，也就是是开环系统某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在复平面[s]上变化的轨迹。如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可以根据期望的闭环特征根确定开环增益。

线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环极点的常用办法。

假如有如图1所示负反馈控制系统，设其开环传递函数为：

则该系统的闭环特征方程为：

当K从零到无穷大连续变化时，闭环极点S在平面（复平面）上画出的根轨迹如图2所示。

从上面的根轨迹图，我们可以看出：当0