自动控制原理4.2：根轨迹绘制的基本法则

根轨迹的起点和终点。

根轨迹起于开环极点，终于开环零点；根轨迹起点指根轨迹增益 K ∗ = 0 K^*=0 K∗=0的根轨迹点，终点指 K ∗ → ∞ K^*\rightarrow\infty K∗→∞的根轨迹点；

根轨迹分支数、对称性和连续性。

根轨迹的分支数与开环有限零点数 m m m和有限极点数 n n n中的大者相等，它们是连续的且对称于实轴；

根轨迹的渐近线。

当开环有限极点数 n n n大于有限零点数 m m m时，有 n − m n-m n−m条根轨迹分支沿着与实轴交角为 φ a \varphi_a φa​、交点为 σ a \sigma_a σa​的一组渐近线趋于无穷远处；计算公式为： φ a = ( 2 k + 1 ) π n − m ，其中： k = 0 , 1 , 2 , … , n − m − 1 ； σ a = ∑ i = 1 n p i − ∑ j = 1 m z j n − m \varphi_a=\frac{(2k+1)\pi}{n-m}，其中：k=0,1,2,\dots,n-m-1；\sigma_a=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^np_i-\sum_{j=1}^mz_j}{n-m} φa​=n−m(2k+1)π​，其中：k=0,1,2,…,n−m−1；σa​=n−mi=1∑n​pi​−j=1∑m​zj​​

根轨迹在实轴上的分布。

实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹；

根轨迹的分离点与分离角。

两条或两条以上根轨迹分支在 s s s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标 d d d是下列方程的解： ∑ j = 1 m 1 d − z j = ∑ i = 1 n 1 d − p i \sum_{j=1}^m\frac{1}{d-z_j}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{d-p_i} j=1∑m​d−zj​1​=i=1∑n​d−pi​1​ 其中： z j z_j zj​为各开环零点的数值； p i p_i pi​为各开环极点的数值；分离角为 ( 2 k + 1 ) π / l (2k+1)\pi/l (2k+1)π/l；

因为根轨迹是对称的，因此根轨迹的分离点一般位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面中；常见的根轨迹分离点是位于实轴上的两条根轨迹分支的分离点；如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至少存在一个分离点；如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间，其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间也至少有一个分离点；

当 l l l条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离角有 ( 2 k + 1 ) π / l (2k+1)\pi/l (2k+1)π/l决定，其中 k = 0 , 1 , … , l − 1 k=0,1,\dots,l-1 k=0,1,…,l−1；分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向间的夹角； l = 2 l=2 l=2时，分离角为直角；

由两个极点(实数极点或复数极点)和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 K ∗ K^* K∗从零变化到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心、以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆，或圆的一部分；

根轨迹的起始角与终止角。

根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以 θ p i \theta_{p_i} θpi​​标志；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以 φ z i \varphi_{z_i} φzi​​表示； θ p i = ( 2 k + 1 ) π + ( ∑ j = 1 m φ z j p i − ∑ j = 1 ， j ≠ i n θ p j p i ) ；其中： k = 0 ， ± 1 ， ± 2 ， … φ z i = ( 2 k + 1 ) π − ( ∑ j = 1 ， j ≠ i m φ z j z i − ∑ j = 1 n θ p j z i ) ；其中： k = 0 ， ± 1 ， ± 2 ， … \begin{aligned} &\theta_{p_i}=(2k+1)\pi+(\sum_{j=1}^m\varphi_{z_j}p_i-\sum_{j=1，j≠i}^n\theta_{p_jp_i})；其中：k=0，±1，±2，\dots\\\\ &\varphi_{z_i}=(2k+1)\pi-(\sum_{j=1，j≠i}^m\varphi_{z_jz_i}-\sum_{j=1}^n\theta_{p_jz_i})；其中：k=0，±1，±2，\dots \end{aligned} ​θpi​​=(2k+1)π+(j=1∑m​φzj​​pi​−j=1，j=i∑n​θpj​pi​​)；其中：k=0，±1，±2，…φzi​​=(2k+1)π−(j=1，j=i∑m​φzj​zi​​−j=1∑n​θpj​zi​​)；其中：k=0，±1，±2，…​

根轨迹与虚轴的交点。

若根轨迹与虚轴相交，则交点上的 K ∗ K^* K∗值和 ω \omega ω值可用劳斯判据确定，或令闭环特征方程中的 s = j ω s={\rm j}\omega s=jω，然后分别令实部和虚部为零求得；

若根轨迹与虚轴相交，表示闭环系统存在纯虚根，意味着 K ∗ K^* K∗的数值使闭环系统处于临界稳定状态；因为一对纯虚根是数值相同但符号相异的根，令劳斯表第一列中包含 K ∗ K^* K∗的项为零，确定根轨迹与虚轴交点上的 K ∗ K^* K∗值；利用劳斯表中 s 2 s^2 s2行的系数构成辅助方程，解决纯虚根的数值，该数值就是根轨迹与虚轴交点上的 ω \omega ω值；如果根轨迹与正虚轴(或负虚轴)有一个以上交点，则采用劳斯表中幂大于 2 2 2的 s s s偶次方行系数构造辅助方程；

确定根轨迹与虚轴交点处参数的另一种方法，将 s = j ω s={\rm j}\omega s=jω代入闭环特征方程，令实部和虚部分别为零，解出 K ∗ K^* K∗和 ω \omega ω： R e [ 1 + G ( j ω ) H ( j ω ) ] = 0 ， I m [ 1 + G ( j ω ) H ( j ω ) ] = 0 {\rm Re}[1+G({\rm j}\omega)H({\rm j}\omega)]=0，{\rm Im}[1+G({\rm j}\omega)H({\rm j}\omega)]=0 Re[1+G(jω)H(jω)]=0，Im[1+G(jω)H(jω)]=0

根之和。

当 n − m ≥ 2 n-m≥2 n−m≥2时，特征方程第二项系数与 K ∗ K^* K∗无关，无论 K ∗ K^* K∗取何值，开环 n n n个极点之和总是等于闭环特征方程 n n n个根之和； ∑ i = 1 n s i = ∑ i = 1 n p i \sum_{i=1}^ns_i=\sum_{i=1}^np_i i=1∑n​si​=i=1∑n​pi​