曲线长、旋转图形表面积、旋转图形体积

$$L=\int_{a}^{b} \sqrt{dx^2+dy^2}=\int_{a}^{b} \sqrt{dx^2\left(1+\frac{dy^2}{dx^2}\right)}=\int_{a}^{b} \sqrt{1+f'^2(x)}dx$$

设平面光滑曲线 $y=f(x) \in C^1[a,b]​$，且 $f(x) \ge 0​$，求它绕 $x​$ 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积

$$S=\int_{a}^{b}2 \pi f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}dx$$

设平面光滑曲线 $y=f(x) \in C^1[a,b]​$，且 $f(x) \ge 0​$，求它绕 $x​$ 轴旋转一周所得到的旋转曲面的体积

$$V=\int_{a}^{b} \pi f^2(x)dx$$

设平面光滑曲线 $y=f(x) \in C^1[a,b]$，且 $f(x) \ge 0$，求它绕 $y$ 轴旋转一周所得到的旋转曲面的体积

$$V=\int_{a}^{b}2 \pi x f(x)dx$$