算法与数据结构

自用。

1.以下关于图的叙述中，正确的是（CF. ）。

A.强连通有向图的任何顶点到其他所有顶点都有弧。 B.图的任意顶点的入度等于出度。 C.有向完全图一定是强连通有向图。 D.有向图的边集的子集和顶点集的子集可构成原有向图的子图。 E.图与树的区别在于图的边数大于等于顶点数 F.无向图的连通分量是指无向图中的极大连通子图。

解答：CF.

A.强连通有向图的任何顶点到其他所有顶点都有路径（概念和定义！)  B. 在有向图中，所有顶点的入度之和是所有顶点出度之和的1倍。 由于每条弧必然连接两个顶点，也对应一个入度和一个出度，所以所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和。  E.图与树的区别是逻辑上的区别，而不是边数的区别

2.在一个图中，所有顶点的度数之和等于图的边数的（C）倍 A． 1/2 B． 1 C． 2 D． 4

解析：

任意一条边都对应2个度，所以度数总和是边数总和的两倍。

3.【习题】关于无向连通图特性的描述中，正确的是（ A ）

I.所有顶点的度之和为偶数 II.边数大于顶点个数减1 III.至少有一个顶点的度为1 A.只有I B.只有II C.I和II D.I和III

解析：A.

结论.在一个图中，所有顶点的度数之和等于图的边数的2倍。(任意一条边都对应2个度，所以度数总和是边数总和的两倍。);无向连通图对应的生成树也是无向连通图，但边数等于顶点数减1，II错误；一个无向连通图的顶点恰好构成一个回路的情况，每个顶点的度都是2，III错;

4.已知无向图G含有16条边，其中度为4的顶点个数为3，度为3的顶点个数为4，其他顶点的度均小于3。图G所含的顶点个数至少是（  B   ）。

A.10         B. 11           C. 13          D. 15

解析：

无向图度之和为边数的两倍；4*3+3*4+2x=16*2  推导出x=4，所以3+4+4=11

5~7为关于连通的问题

5.【习题】具有6个顶点的无向图，当有（   B  ）条边时能确保是一个连通图。

A.10         B. 11           C. 13          D. 15

牵扯到完全图的一些应用。

问的是至少而不是最少，最少的话是5条

5个顶点构成的完全无向图，需要5*(5-1)/2=10条边，再加上1条边后，能保证第6个顶点必然与此完全无向图构成一个连通图，所以10+1=11

6.若无向图G=(V,E)中含有7个顶点，要保证图G在任何情况下都是连通的，则需要的边数最少是(C ).

    A.6                 B.15              C.16             D. 21

解析：

C。题干要求在“任何情况"下都是连通的，考虑最极端的情形，即图G的6个顶点构成一个完全无向图，再加上-条边后，第7个顶点必然与此完全无向图构成一个连通图，所以最少边数=6x5/2+1= 16.若边数n小于等于15,可以使这n条边仅连接图G中的某6个顶点，从而导致第7个顶点无法与这6个顶点构成连通图(不满足“任何情况")。

6.【习题】图G是一个非连通无向图，共有28条边，该图至少有（   A ）个顶点

A.9           B. 10           C. 11         D.12

解析：图G是一个非连通无向图，在边数固定时，顶点数最少的情况是该图由两个连通子图构成，且其中之一只含一个顶点，另一个为完全图，只含一个顶点的没有边，完全图的边数为n(n-1)/2=28，n=8，所以8+1=9

7.【习题】有n个顶点的图：若是连通无向图，其边的个数至少为（  A   ）；若是强连通有向图其边的个数至少为（      ）。

A. n-1，n                   B. n-1，n(n-1)       C. n，n                     D. n，n(n-1)

解析：

极小连通子图n-1，强连通有向图就是一个有向环

8.【习题】若具有n个顶点的图是一个环，则它有（ B ）棵生成树。

A.n2         B.n          C.n-1          D.1

解析：

n个顶点的生成树是具有n-1条边的极小连通子图，n个顶点构成的环共有n条边，去掉任意一条边就是一棵生成树，所以共有n中情况

9.【习题】以下关于图的存储结构的描述中，正确的是（ B   ）

A.一个图的邻接矩阵表示唯一，邻接表表示唯一。 B.一个图的邻接矩阵表示唯一，邻接表表示不唯一。 C.一个图的邻接矩阵表示不唯一，邻接表表示唯一。 D.一个图的邻接矩阵表示不唯一，邻接表表示不唯一。

10.若邻接表中有奇数个边表结点，则（  D   ）。

A.图中有奇数个结点           B.图中有偶数个结点 C.图为无向图                 D.图为有向图

解析：

对于无向图来说，这个点链接的边表节点就是度数，而无向图的度一定是一个偶数，所以无向图的邻接表一定是偶数；对于有向图来说，邻接表的个数就是这个出度，出度的和可以是奇数。

补充：有向图中，任意一条边AB（A->B）都会给A提供一个出度，给B提供一个入度，所以 顶点的度之和 = 2 * 顶点入度之和 = 2*顶点出度之和 = 顶点入度之和+顶点出度之和=边数的两倍。 

11.n个顶点的无向图邻接表最多有（ B  ）个边表结点。

A.n2       B.n(n-1)        C.n(n+1)       D.n(n-1)/2

解析：

由上题我们可以知道，无向图的边表节点就是它的度数，边表节点的和就是这个图的度数，那么度数又等于边数的两倍，所以最多就是在完全图的情况下啦

12.编程相关：

【习题】已知无向连通图G由顶点集V和边集E组成。|E|>0，当G中度为奇数的顶点个数为不大于2的偶数时，G存在包含所有边且长度为|E|的路径（称为EL路径）。设图采用邻接矩阵存储，类型定义如下：

请设计算法int IsExistEL(Mgraph G)，判断G是否存在EL路径，若存在，则返回1，否则返回0。要求：

1）给出算法的基本设计思想。

2）根据设计思想，采用C语言描述算法，关键之处给出注释。

3）说明你所设计算法的时间复杂度和空间复杂度。

答：    刚开始看了几遍题没有看懂想要表达什么意思，关于|EL|图的定义（感觉有种高考时候做的那种题的感觉了）。 1）对于采用邻接矩阵的无向图，在邻接矩阵的每一行（列）中，非零元素的个数为本行（列）对应顶点的度。依次计算连通图G中各顶点的度，并记录为奇数的顶点个数，若个数为0或2，则返回1，否则返回0。     2）根据上述思想，设计算法。