【微积分基础（24）】过直线的平面束（族）、例题

平面束在有些时候会带来方便，可以优化一些需要解方程组的方法，总而言之，就是一种思路或者算法的优化。

我们先来看一下直线的一般方程：

ax+by+cz+D=0

mx+ny+pz+Q=0

它展示了过该直线的两个平面的方程。那么我们如何将它们转化为平面束方程呢？所谓平面束，也叫做平面族，在这里就是过该直线的所有平面（除了mx+ny+pz+Q=0）的集合。我们先给出来吧：

ax+by+cz+D+λ(mx+ny+pz+Q)=0

这就是过该直线的平面束（族）方程。

现在我们来证明一下，平面方程满足平面束方程是平面过该直线的充要条件（除一特例）。证明充要条件，我们一般从两个方向来进行证明。

如果平面过直线，那么直线上任何一点（x,y,z）满足

ax+by+cz+D=0

mx+ny+pz+Q=0

那么就有ax+by+cz+D+λ(mx+ny+pz+Q)=0

如果平面不过该直线，那么我们设该平面为：

Ax+By+Cz+M=0

有因为有：ax+by+cz+D=0

那么ax+by+cz+D+λ(Ax+By+Cz+M)=0……（1）

为了方便叙述，我们采用反证法，假设方程（1）满足平面束方程，即：

ax+by+cz+D+λ(mx+ny+pz+Q)=0

两式相减，整理得：

Ax+By+Cz+M≡mx+ny+pz+Q=0

又因为根据假设，Ax+By+Cz+M=0不过该直线而mx+ny+pz+Q=0过该直线，矛盾。

综上所述：平面方程满足平面束方程是平面过该直线的充要条件。（除一特例）

当然还有一种思路，就是用某一些其他充要条件关系来推导这个充要条件。

我们知道所有经过该直线的平面的法向量垂直于这条直线的方向向量，那么就意味着，平面族（束）中所有的平面的法向量是共面的，又因为：

已知两个向量a、b，第三个向量c与能表示为a与b的线性组合是c、a、b共面的充要条件。（证明很简单，几何代数都可以，这里就不再赘述了）

就是说c=ma+nb进一步化简，则c=a+(n/m)b，

我们代入a=ax+by+cz，b=mx+ny+pz，λ=(n/m)，就有：

ax+by+cz+λ(mx+ny+pz)

平面法向量满足此形式是过该直线的必要不充分条件，我们可以设平面束方程为：

ax+by+cz+λ(mx+ny+pz)+T=0

然后再代入

ax+by+cz+D=0

mx+ny+pz+Q=0

得到

- D - λ Q + T = 0

即：T=D+λQ

代入原方程得：ax+by+cz+λ(mx+ny+pz)+D+λQ=0，即：

ax+by+cz+D+λ(mx+ny+pz+Q)=0

就得到了该直线的平面束方程，也证明了：平面方程满足平面束方程是平面过该直线的充要条件。（除一特例）

平面束在有些时候会有用，比如如果已知一条直线和一个点，求过该点和该直线的平面方程，就可以先将直线化成一般方程，然后写出平面束方程，再代入已知点的三坐标解出λ，相应的就得到了平面的方程。

1、求满足下列条件的直线方程。

（1）过（4，- 1，3）且平行于直线 ( x - 3 ) / 2 = y = ( z - 1 ) / 5。

（2）过（0，2，4）且同时平行于平面 x + 2 z = 1 和 y - 3 z = 2。

（3）过（2，- 3，1）且垂直于平面 2 x + 3 y + z+ 1 = 0。

（4）过（0，1，2）且与直线 x - 1 = 1- y = z / 2 垂直相交。

2、

（1）求点（- 1，2，0）在平面 x + 2 y - z + 1 = 0上的投影点。

（2）求点（2，3，1）在直线 x + 7 = ( y + 2 ) / 2 = ( z + 2 ) / 3 上的投影点。

3、求直线 ( x - 1 ) /2 = - y = ( z + 1 ) / 2 与平面 x - y + 2 z = 3 之间的夹角。

4、已知入射光线的路径为 ( x - 1 ) / 4 = ( y- 1 ) / 3 = z - 2 ，求该光线经平面 x + 2 y + 5 z + 1 7 = 0 反射后的反射光线方程。

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