8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 单元教学设计

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8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系（单元教学设计）一、【单元目标】1．知识与技能：1了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个基本事实的地位与作用。4．了解直线与直线之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；5．了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；6．了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示．2．数学学科素养1.数学抽象：平面的概念、异面直线的理解；；2.逻辑推理：三个基本事实、判断空间点、直线、平面之间的位置关系；3.数学运算：点、直线、平面的关系；4.直观想象：符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系、空间图形中点、直线、平面之间的位置关系。二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】第一节是本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第三章《立体几何初步》，本节课主要学习三个基本事实及三个结论及其应用。平面是最基本的几何概念，教材以课桌面、黑板面、海平面为例，对它只是加以描述而不不定义。立体几何中的平面又不同于上面的例子，是上面例子的抽象和概括，它的特征是无限延展性。为了更精准地理解平面，教材重点介绍了平面的基本性质，即教科书的三个基本事实，这也是本节的重点。另外，本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译，特别注意图形语言与符号语言的转换。第二节是空间点、直线、平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是本节的重点和难点.这些位置关系是根据交点个数来定义的，本节重点是结合图形判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.四、【教学设计思路/过程】课时安排： 约2课时第一课时：平面第二课时：空间点、直线、平面之间的位置关系教学重点：了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；教学难点：会用图形语言、符号语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学方法/过程：五、【教学问题诊断分析】8.3.1 平面问题1：教室里的桌面、黑板面、海平面，它们呈现出怎样的形象？【答案】【破解方法】通过观察图片，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。问题2：平面的概念是什么？【答案】光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.【破解方法】通过概念的总结，结合具体平面形象理解抽象的概念.问题3：平面有哪些特征？【答案】平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面在空间是无限延伸的.(1)平展性 (2)无限延展性 (3)没有厚度【破解方法】通过具体例子，巩固平面的概念及特征，提高学生的解决问题、分析问题的能力。问题4：平面怎么表示？【答案】常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．记作：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD【破解方法】通过具体例子，巩固平面的概念及特征，提高学生的解决问题、分析问题的能力。8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系问题1：什么是异面直线？怎么样画异面直线？【答案】异面直线(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.(2)画法:【破解方法】通过示例讲解，用具体的物品体会异面直线的概念，用具体的平面讲解异面直线的画法，体现从具体到抽象的处理思路.问题2：空间两条直线的位置关系是怎么样的？位置关系 共面情况 有无公共点相交 在同一平面内 有且只有一个公共点平行 在同一平面内 没有公共点异面 不同在任何一个平面内 没有公共点【答案】【破解方法】通过手边具体的物品比划出空间两条直线的三种位置关系，强调他们的各自的异同点及注意事项，强调他们作图时应该借助于平面来体现各自的区别.问题3：直线与平面的位置关系是怎么样的？【答案】位置关系 图形表示 符号表示 公共点直线a在 平面α内 有无数个公共的直线a与 平面α相交 有且只有一个公共的直线a与 平面α平行 无公共点【破解方法】通过具体物品比划出直线与平面的三种位置关系，作图时借助于平面体现出三种位置关系的画法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。问题4：平面与平面的位置关系是怎样的？【答案】位置关系 图形表示 符号表示 公共点两平面平行 无公共点两平面相交 有无数个公共点,这些点在一条直线上【破解方法】通过具体物品比划出平面与平面的三种位置关系，作图时借助于平面体现出两种位置关系的画法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。新知探究思考1：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？【答案】过不共线三点基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．图形语言：作用：确定平面的主要依据。5.点与直线、平面的位置关系直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成点的集合．点在直线上和点不在直线上、点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于关系来表示．图形语言：符号语言：思考2：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？如果直线 l 与平面α有两个公共点呢？【答案】直线与平面的关系：直线在平面外 直线在平面内图形：符号语言：基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．图形语言：符号语言：作用：判断直线是否在平面内的依据．思考3：如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？【答案】交于一点直线。基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．图形语言：符号语言：作用：①判断两个平面相交的依据．②判断点在直线上．6.两个相交平面的画法：注意：画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画．7.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可得下面三个推论推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。作用：确定一个平面。典例分析：题型一：平面的概念及表示例1．判断正误(1)平面是处处平的面．(　　)(2)平面是无限延展的．(　　)(3)平面的形状是平行四边形．(　　)(4)一个平面的厚度可以是0.001 cm.(　　)【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×例2．如图所示，点、线、面之间的数学符号语言关系为　　A．， B．， C．， D．，【分析】利用点、线、面间的位置关系及数学符号语言直接求解．【解答】解：如图所示，点、线、面之间的数学符号语言关系为，．故选：．例3．下列各图符合立体几何作图规范要求的是　　A．直线在平面内 B．平面与平面相交C．直线与平面相交 D．两直线异面【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可．【解答】解：对选项，若直线在平面内，应将直线画在平面内，错误；对选项，平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，错误；对选项，直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，错误；对选项，画两异面直线时，需平面衬托，中两直线异面满足作图规范，正确．故选：．题型二：证明四点共面例4．如图，在长方体中，，分别是和的中点．证明：，，，四点共面．【分析】连接，，，证明即可．【解答】证明：如图，连接，，，是△的中位线，，与平行且相等，四边形是平行四边形，，，，，，四点共面．【变式训练】如图，正方体中，为的中点，为的中点，求证：、、、四点共面．【分析】要证明、、、四点共面，我们观察图形后，发现与可能平行，利用中位线及平行四边形的性质，易得到结论．【解答】证明：在正方体中，，而，，、、、四点共面题型三：证明三线共点例5．如图，正方体中．、分别是、的中点．求证：、、三线共点．【分析】根据如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线，从而可证得结论．【解答】证明：连结、、，由题可知，、分别是、的中点，，且，，且，为梯形．则可令．由面，面，面面，、、共点于．得证．【变式训练】空间四边形中，、、、分别是、、、上的点，已知和交于点，求证：、、三线共点．【分析】先根据、相交于点得到点属于直线，且属于直线，再根据属于面，属于面即可得到点必在面与面的交线上，进而得到结论．【解答】证明：因为、相交于点，则点，且．又由题意，面，面则点面，面，又平面平面，则点必在面与面的交线上，即，所以、、三线共点．题型四：证明三点共线例6．如图：点、、、分别是空间四边形的边、、、上的点，且直线与直线交于点，求证：、、三点共线．【分析】平面平面，由已知推导出是平面和平面的公共点，由此能证明、、三点共线．【解答】证明：平面平面，点、、、分别是空间四边形的边、、、上的点，且直线与直线交于点，，，平面，平面，又平面，平面，，、、三点共线．【变式训练】在正方体中，、、分别在棱、、上，且、相交于点．求证：、、三点共线．【分析】由，得面且面，再由面面，能证明、、三点共线．【解答】证明：，且，面且面，又面面，、、三点共线．证明线共面或点共面的三种常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．题型五：直线与直线的位置关系例7．设，是两个不同的平面，是一条直线，若，，，则　　A．与平行 B．与相交C．与异面 D．以上三个答案均有可能【分析】根据题意画出图形，利用线面平行的性质，结合图形即可得出结论．【解答】解：如图所示，，是两个不同的平面，是一条直线，当时，则存在，，当时，则存在，，，可得，又，．故选：．【变式训练】若、异面，、相交，则、的关系为可能为　　A．平行 B．相交 C．异面 D．重合【分析】由题意画出图形，可知、的关系为可能为平行，相交，异面，再由反证法思想推出与不可能重合即可得答案．【解答】解：如图，、异面，、相交，当位于位置时，此时与平行；当位于位置时，此时与相交；当位于位置时，此时与异面．若与重合，与异面，与异面，与，相交相矛盾．故、的关系为可能为平行，相交，异面．故选：．解题技巧（判定两直线异面的常用方法）(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)的情况.题型六：直线与平面的位置关系例7．（1）用符号语言表示语句：“直线经过平面内一定点，但在外”，并画出图形．（2）把下面的符号语言改写成文字语言的形式，并画出图形．若直线平面，，，直线，，则．【分析】（1）根据文字语言先画出图形，再根据图形用符号语言表示即可．（2）先根据符号语言画出图形，再根据图形用文字语言叙述出即可．【解答】解：（1）如图所示，，，．（2）如图所示，如果一条直线在一个平面内，那么经过这个平面内不在这条直线上的点与这条直线平行的直线也在这个平面内．【变式训练】已知直线平面，过与相交的平面有几个？它们的交线之间有什么关系？这些交线与平行吗？【分析】利用线面平行的性质定理即可判断出．【解答】解：直线平面，过与相交的平面有无数个，且直线交线，它们的交线之间互相平行，这些交线在内．解题技巧 (直线与平面位置关系的解题思路)解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助空间想象能力进行细致的分析.题型七：平面与平面的位置关系例8．下列说法中，正确的是　　A．如果两个平面互相平行，那么其中一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行B．如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行C．如果两个平面平行，那么一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．如果一个平面内存在三个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面互相平行【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解即可．【解答】解：根据平面与平面平行的性质，可得正确；两个平面没有公共点，那么由平面平行的定义得这两个平面平行，故正确；由面面平行的性质，可得在其中一个平面内的直线均与另一个平面平行，故正确；一个平面上不共线的三点到另一个平面的距离相等，这两个平面不一定平行．也可能相交．比如三个点是个正三角形的三个顶点，一个平面从它中心垂直穿过且和三角形的一边平行，那么三点到这个平面距离相等，但两个平面是相交的．故错误．故选：．【变式训练】若点平面，点平面，点平面，点平面，则平面，的位置关系可能是　　A．重合 B．交于直线C．没有公共点 D．选项、都有可能【分析】由两平面的位置关系可得结论．【解答】解：若点平面，点平面，点平面，点平面，即、有两个公共点、，则、重合或相交．故选：．解题技巧（平面与平面位置关系的解题思路）判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.常借助长方体模型进行判断.六、【教学成果自我检测】1．课前预习设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.1．下列说法正确的是　　A．四边形一定是平面图形B．不在同一条直线上的三点确定一个平面C．梯形不一定是平面图形D．平面和平面一定有交线【分析】根据空间元素的位置关系和三大公理及推论分别判断选项正误．【解答】解：对于，四边形不一定是平面图形，也可能是空间四边形，故错误；对于，不共线的三点确定一个平面，故正确；对于，梯形中，有一组对边平行，可以确定一个平面，故梯形一定是平面图形，错误；对于，若平面和平面平行，则其没有交线，故错误；故选：．2．设，是两条异面直线，则下列命题中正确的是　　A．过且与垂直的平面有且只有一个B．过且与平行的平面有且只有一个C．过空间一点与，都平行的平面有且只有一个D．过空间一点与，都垂直的平面有且只有一个【分析】对于，若与不垂直，则不存在过的平面与垂直；对于，过上一点作的平行直线，则与确定一平面，由，，得到；对于，当点与，中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面不存在；对于，过空间一点与，都垂直的平面不存在．【解答】解：对于，设过的平面，若，则，若与不垂直，则不存在过的平面与垂直，故不正确；对于，过上一点作的平行直线，则与确定一平面，由，，故，故正确；对于，当点与，中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面不存在，故错误；对于，过空间一点与，都垂直的平面不存在，故错误．故选：．3．分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系不可能是　　A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直【分析】两个平行平面没有交点，则分别在两个平行平面内的两条直线不可能相交．【解答】解：两个平行平面没有交点，分别在两个平行平面内的两条直线没有交点，分别在两个平行平面内的两条直线不可能相交．故选：．4．与、、不在同一平面内，如果三条直线，，两两相交，求证：，，交于一点．【分析】利用公理1，2，3即可证明．【解答】证明：设平面平面，，平面，平面，平面，平面，平面平面，，，交于一点．2．课堂检测设计意图：例题变式练.【变式1】．用符号表示“点在平面外，直线在平面内”，正确的是　　A．， B．， C．， D．，【分析】根据空间中点、线、面的位置关系的符号语言求解即可．【解答】解：点与线的位置关系用“”或“”表示，线与面的位置关系用“”或“”表示，则“点在平面外，直线在平面内”可用，表示．故选：．【变式2】．若直线与平面相交，则下列说法正确的是　　A．平面内的每条直线都与相交B．平面内存在直线与平行C．平面内存在直线与垂直D．平面内的每条直线都与异面【分析】由直线与平面相交的定义判断，错误；由直线与平面平行的判定判断错误；由直线与平面垂直的定义及三垂线定理判断正确．【解答】解：直线与平面相交，设交点为，如图，平面过点的直线都与相交，不过点的直线都不与相交，故错误，错误；若存在直线与平行，由直线与平面平行的判定，可得，与矛盾，故错误；若，则内的所有直线都与垂直，若不垂直，设在内的射影为，在内作，则，即平面内存在直线与垂直，故正确．故选：．【变式3】．在正方体中，，分别是，的中点．（1）画出平面与平面的交线，并说明理由；（2）求证：，，，四点在同一平面内．【分析】（1）利用平面基本性质2，可得结论；（2）利用平面基本性质3，可得结论．【解答】（1）解：设，，连结，则，分别在平面、平面，平面平面；（2）证明：连，则．故、、、四点共面【变式4】．已知正方体，则：（1）与是否在同一平面内？（2）点，，是否在同一平面内？（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线．【分析】（1）根据共面的条件进行判断；（2）根据三点共面的条件进行判断；（3）根据公理3进行判断．【解答】解：（1）是．因为，与确定以平面；（2）是．因为点，，不共线；（3）如图：平面与平面的交线为，平面与平面的交线为．3．课后作业设计意图：巩固提升.1.课本131页练习2.课本习题8.4复习巩固及综合运用

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